Application matricielle

[capitaine nuggets]

Bonsoir, j'ai trouver un exercice intéressant :

Montrer que l'application qui, à tout associe , est différentiable et calculer la différentielle.

Mais je ne vois pas du tout comment commencer.
Merci pour vos suggestions.

[cuati]

Bonsoir, j'ai trouver un exercice intéressant :


Mais je ne vois pas du tout comment commencer.
Merci pour vos suggestions.

Calcule et essaye de voir directement quelle est la différentielle...

[capitaine nuggets]

Calcule et essaye de voir directement quelle est la différentielle...

D'habitude, je traite des cas où il faut montrer qu'on a :

Mais je ne vois pas comment faire apparaître cette expression :
En particulier, on n'a pas toujours .

[capitaine nuggets]

D'habitude, je traite des cas où il faut montrer qu'on a :

Mais je ne vois pas comment faire apparaître cette expression :
En particulier, on n'a pas toujours .

Ah peut-être que si j'appelle alors en posant

[capitaine nuggets]

ai-je bon ?

[cuati]

ai-je bon ?

Oui, c'est ça , est bien linéaire...

[capitaine nuggets]

ok, mais on n'a pas le "petit o de qqch"...
Devrais-je écrire ?
(à suppose que "petit o" d'une matrice ait un sens).

Oui, c'est ça , est bien linéaire...

dois-je prouver qu'elle est linéaire ?
De plus, tu dis directement que , en as-t-on le droit ?

[capitaine nuggets]

Oui, c'est ça , est bien linéaire...

dois-je prouver qu'elle est linéaire ?
De plus, tu dis directement que , en as-t-on le droit ?

[cuati]

dois-je prouver qu'elle est linéaire ?
De plus, tu dis directement que , en as-t-on le droit ?

Attention, c'est DF(X) avec une majuscule !
Oui elle est linéaire, c'est évident mais si ça ne l'est pas pour toi montre le... c'est assez simple
Tu dois aussi montrer que est un . Comme on est en dimension finie tu peux choisir la norme que tu veux... celle qui t'arrange le mieux....

[capitaine nuggets]

Attention, c'est DF(X) avec une majuscule !
Oui elle est linéaire, c'est évident mais si ça ne l'est pas pour toi montre le... c'est assez simple
Tu dois aussi montrer que est un . Comme on est en dimension finie tu peux choisir la norme que tu veux... celle qui t'arrange le mieux....

Quelle différence avec la minuscule que tu as mises tout à l'heure ?
En effet, je viens de montrer qu'elle est linéaire.
Heu par contre, que signifie lorsque est une matrice ?

[raito123]

Comme on est en dimension fini tu choisis n'importe quelle norme ( la norme 2 par exemple )

[capitaine nuggets]

Ah oui, c'est sans perte de généralité de prendre la norme 1.

Si on prends la norme 2 alors mais comment montrer alors que ?

[raito123]

Ah oui, c'est sans perte de généralité de prendre la norme 1.

Si on prends la norme 2 alors mais comment montrer alors que ?

Est-ce que tu peux me rappeler ce que c'est qu'une norme sur ?

[capitaine nuggets]

Est-ce que tu peux me rappeler ce que c'est qu'une norme sur ?

Nam, je ne saurais pas dire (je ne l'ai pas vue celle-là).
Mais tu pourrais peut-être me l'expliquer ?

[raito123]

Une norme sur espace vectoriel E est une application N : E-->IR+ tq :
1/ N(x)=0 ==> x=0 ( axiome de séparation )
2/ N(x+y) <= N(x) + N(y) ( inégalité triangulaire )
3/ N(k*x)=|k|*N(x)

Par exemple sur IR la valeur absolue constitue une norme et sur l'ev des complexes le module constitue une norme.

Sur l'espace des matrices réelles tu pourras trouver plusieurs normes par exemple : N(M) = racine(Transposée(M)*M)

[capitaine nuggets]

Une norme sur espace vectoriel E est une application N : E-->IR+ tq :
1/ N(x)=0 ==> x=0 ( axiome de séparation )
2/ N(x+y) <= N(x) + N(y) ( inégalité triangulaire )
3/ N(k*x)=|k|*N(x)

Par exemple sur IR la valeur absolue constitue une norme et sur l'ev des complexes le module constitue une norme.

Sur l'espace des matrices réelles tu pourras trouver plusieurs normes par exemple : N(M) = racine(Transposée(M)*M)

Jusqu'à la valeur absolue, je connaissais tout ce que tu as dit mais je ne vois vraiment pas comment avoir le "petit o".

[raito123]

Tu dois démontrer que !!

[cuati]

@ capitaine nuggets
Excuse moi l'oreiller m'a appelé... pour répondre à la dernière question que tu m'as posé : en fait je parlais du X, il doit être en majuscule...
Je laisse raito123 te guider pour la suite.

[capitaine nuggets]

Tu dois démontrer que !!

oui, je sais, mais je ne vois vraiment pas comment faire :triste:

[raito123]

Un résultat général dans M_n(R) est que toutes les normes sont semis-multiplicatives cad il existe k tq . Et là je crois que tu peux facilement conclure.