Application mathématiques

[steven48]

Bonjour,
j'ai un exercice à faire et j'aimerais avoir vos avis sur mes réponses :help:

On note A = f1; 2; 3; 4; 5; 6g et f l'application de A -> A définie par la table de valeurs:
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 4 5 1 3 6 2

Questions
1. f est-elle bijective?

2. On pose g = f f et h = f f f (autrement dit h(x) = f(f(f(x)))).
Former des tables de valeurs analogues à celle de f mais pour g et h.

3. Quelles sont les applications f g, g f, f -1, f g f et g f g ? (sans table)
(f-1 est la fonction réciproque de f).

4. A toute application s de A -> A, on associe l'application s' = g s f (autrement dit
s'(x) = g(s(f(x))). Quelle est alors l'application f s g?

Réponses
1.
F est surjective puisque toutes les images de f ont un antécédent dans A
F est injective puisqu’à une image de f dans A ne correspondent que différents antécédents dans A.
Puisque f est surjective et injective alors elle est par conséquent bijective

2.
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 4 5 1 3 6 2
g =f(f(x)) 3 6 4 1 2 5
h(x)=f(f(f(x)) 1 2 3 4 5 6

3.
f g = h(x) = 1,2,3,4,5,6
g f = h(x)
f-1 = h(x)
f g f = f(x)
g f g = f(x)

4.
f f f s f f f = f-1 s f-1 = x

[XENSECP]

Pas d'accord sur f-1 ;)

Mais sinon c'est pas mal hein !

[laya]

1.
F est surjective puisque toutes les images de f ont un antécédent dans A
F est injective puisqu’à une image de f dans A ne correspondent que différents antécédents dans A.
Puisque f est surjective et injective alors elle est par conséquent bijective.

La rédaction est un peu maladroite. Normalement, on dit "image d'un élément ou d'un ensemble" alors que tu parles de "images de f". L'image d'un élément x a bien sûr toujours au moins un antécédent, c'est l'élément x lui-même.
Pour montrer la surjectivité, il faut examiner si l'image de l'ensemble de départ est égale à l'ensemble d'arrivée, càd, a-t-on ici f(A) = A (puisque A est en même temps ensemble de départ et ensemble d'arrivée).
La rédaction de l'injectivité est maladroite voire fausse. Il faut plutôt chercher si tu peux trouver deux éléments distincts de l'ensemble départ qui ont la même image. Si tu en trouves alors f n'est pas injective, sinon elle n'est pas injective.

2.
x 1 2 3 4 5 6
f(x) 4 5 1 3 6 2
g =f(f(x)) 3 6 4 1 2 5
h(x)=f(f(f(x)) 1 2 3 4 5 6

ça a l'air juste (je n'ai pas tout vérifié mais le début est juste, il n'y a pas de raison que le suite soit fausse, sauf erreur inattention) . Tu peux noter que fofof = Id (où Id : identité de A, càd l'application qui a un élément x de A associe l'élément x lui-même)

3.
f g = h(x) = 1,2,3,4,5,6
g f = h(x)
f-1 = h(x)
f g f = f(x)
g f g = f(x)

Ok sauf pour le f-1, d'ailleurs est-ce que c'est f-1 ou plutôt f-Id ou ? Bon, c'est faux dans tous les cas. Si c'est plutôt alors tu dois justifier pourquoi c'est la même chose que .

4.
f f f s f f f = f-1 s f-1 = x

Non, rappelle-toi que fofof = Id.

[steven48]

Merci pour toutes tes explications, c'est très sympa !
Je suis en train de revoir les points principaux. :lol3: