Application linéaires

[Kimou]

Bonsoir juste une petite question qui m'ennuie:

Une application linéaire de E dans E, avec E un espace de banach, n'est pas forcément continue??
Je pense que c'est vrai en dimension fini mais ça ne l'est plus en dimension infinie, car on peut tout à fait trouver des endomorphismes non bijectif (en dimension infinie...), et des espaces de banach en dimension infinie?

Si j'ai raison, j'ai un exo corrigé dans un livre qui prendrait en compte le fait que L(E,E) est forcément continue => le livre ne considère seulement que des espaces de banach de dimension fini donc non??
A mon avis quelque chose m'échappe parce que j'ai cherché toute l'après midi à montrer que c'était continue alors qu'apparemment c'était contenu dans l'énoncé. Normalement les application linéaire continue sont notées L(E,E) avec un indice "c" sous le L non?
Merci de m'éclairer :happy2:

[Monsieur23]

Aloha,

Dans presque tous les bouquins d'analyse, l'ensemble des applications linéaires continues est noté simplement ( sans l'indice c...)

[Kimou]

Merci à toi, j'ai eu l'habitude d'un bouquin qui mettait systématiquement l'indice du coup j'ai fait le lien comme cela.
Bon ben va falloir que je m'habitue autrement, merci !

[Monsieur23]

Ceci dit, tu avais raison : en dimension finie, toutes les applications linéaires sont continues, mais c'est n'est pas automatique en dimension infinie ! :-)