Application linéaire

[zemalabare]

Bonjour a tous

après avoir démontrer plusieurs lemmes et propriétés d'une application linéaire, j'en arrive au lemme et définition suivant :

soient E,F des K-ev soit, u:E->F une application linéaire. on suppose que u est bijective. alors [COLOR=Red]u^-1 est linéraire[/COLOR]. on dit que u est un isomorphisme de E dans F.

le prof veut que l'on démontre ce lemme (donc ce qui est écrit en bleu et rouge)

j'avais un petit doute sur ce qui est écrit en rouge, alors après quelque petite recherche, j'en suis arrivé a la conclusion suivante : il faut que je demontre que u^-1 : F->E est une application linéaire .... :id:

ai-je bon? est ce que c'est ca que je doit démontré? :hein:

[leon1789]

oui, c'est exactement ce que tu dois démontrer.

Let's go ! :id:

[zemalabare]

merci bien

bon, notre prof nous avait dit que les calculs sont un poil trivial (pour ne pa dire complètement^^) mais il nous a dit que ce lemme serait plus compliqué (ou alors j'ai du mal saisir) alors je vous montre ce que j'ai fait et dite moi si c'est bon ou pas :ptdr:

(j'appel w l'application réciproque de u, ca simplifie l'écriture)

donc soient w:F->E une application, E et F deux K-ev.

pour tout (x,y)€F on a w(x+y)=w(x)+w(y)
avec w(x+y) € E, x+y € F +:addition dans F
w(x) et w(y) € E ; w(x)+w(y) €E +:addition dans E
donc on a bien w(x+y)=w(x)+w(y), pour tout (x,y)€F
(ensuite j'ai fait la mm chose avec un scalaire € a K)

mais je suis moi même pas "convaicu" par ma démonstration ... ca m'a l'air ULTRA trivial .... est-elle bonne ou mauvaise ou incomplète ma preuve? :triste:

[zemalabare]

non personne? :help:

edit: j'ai peux etre trouver autre chose mais j'ai besoin d'une confirmation ...

est ce que je peux écrire que u^-1(u(x))=x ? :zen:

[miikou]

salut, oui tu peux ecrire ca mais il semblerait que ta preuve soit fausse

[zemalabare]

ok merci .... j'ai réussi ma preuve en utilisant u^-1[u(x)]

[leon1789]

soient w:F->E une application, E et F deux K-ev.

pour tout (x,y)€F on a w(x+y)=w(x)+w(y)
avec w(x+y) € E, x+y € F +:addition dans F
w(x) et w(y) € E ; w(x)+w(y) €E +:addition dans E
donc on a bien w(x+y)=w(x)+w(y), pour tout (x,y)€F
(ensuite j'ai fait la mm chose avec un scalaire € a K)

mais je suis moi même pas "convaicu" par ma démonstration ... ca m'a l'air ULTRA trivial .... est-elle bonne ou mauvaise ou incomplète ma preuve? :triste:

Toutes ces lignes ne démontrent rien. :triste:

[wild.blood]

on ve montrer que w :F--->E est lineaire .
dc soit (x,y)€F µ€K et w l'application reciproque de u;puisque (x,y)€F et u est un isomorphisme de E vers F alors pour tt (x,y)€F existe a , b unique dans E tque u(a)=x et u(b)=y;
donc w(µx+y)=w(µu(a)+u(b))=w(u(µa+b))=µa+b.
et puisque u(a)=x alors a=w(x) et b=w(y);
donc w(µx+y)=µw(x)+w(y).
dc w est une appl linea