Application linéaire

[vcent1]

Bonjour,

Je dois justifier la validité de la proposition suivante, soit par une démonstration, soit par un contre exemple :

Soit E, F deux K-espaces vectoriels et f une application de E dans F. Si f est additive, c’est-`a-dire, si
pour tous (x, y) E P,E, f(x+y)=f(x)+f(y) alors f est linéaire.

D'après la définition d'une application linéaire je crois la proposition fausse, seulement impossible de trouver un bête contre exemple

Donc si quelqu'un pouvait m'aider j'apprécierai.

En vous remerciant d'avance

[GaBuZoMeu]

Ça dépend du corps ...
Pour , c'est vrai. En fait, si contient , toute application additive est -linéaire (et réciproquement).
Si , on peut considérer une base de sur pour fournir un contre-exemple. Sauf que personne ne peut te fournir explicitement une telle base.
En prenant , on peut fabriquer explicitement un contre-exemple.

[vcent1]

Merci pour votre réponse, je vais travailler dessus.

[sofianmakhlouf]

Bonsoir
Si tu a en plus la continuité de f alors f est linéaire.

[jsvdb]

Bonsoir
Si tu a en plus la continuité de f alors f est linéaire.

On a même mieux sur : si f est mesurable et additive alors f est linéaire.
Les fonctions additives non linéaires sont des fonctions non mesurables ... bon courage !