Application lineaire 2

[Vlad-Drac]

On considère les suivants de R4
W défini par le système d’équations suivant
X2 + X3 − X4 = 0,
X1 + 5X2 = 0
Trouver une base du sous-espace W.


pour faciliter mes calcul jai remplacer par les equations
x+y-z=0
5x+t=0

je trouve vect de w= {(101-5),(0110)}
deja est ce correct et si oui pouvez vous m'indiquer une methode ? car moi ce que j'ai fais
cest fixer x = 1 ce qui me donne t=-5 puis comme y et z ne sont pas determiner je les fixe a leur tour a 0 et 1 et enfin je fixe x = 0 et je recommence pour y et z. j'obtient soit des vecteur nul soit ces 2 vecteurs qui forment une base normalement...

[Ben314]

Salut,
Normalement (???) avant d'attaquer le chapitre sur les e.v. et s.e.v., on fait un chapitre sur les système d'équation et tout les calculs qu'on fait dans le chapitre sur les e.v. et s.e.v. découle de celui sur les système.
Bref, tu résout le système x+y-z=0 ; 5x+t=0 par la méthode que tu veut et tu doit trouver comme solutions un truc du style z=x+y ; t=-5x avec x et y arbitraires (donc une infinité de solution).

Dans le chapitre "systèmes", c'est fini (on a la liste exhaustive de toute les solutions). Dans celui sur les e.v. et s.e.v., ben on écrit juste une ligne de plus, à savoir que les solutions se présentent sous la forme
(x,y,z,t) = (x,y,x+y,-5x) = x.(1,0,1,-5)+y.(0,1,1,0) avec x et y arbitraires
Et ça te dit immédiatement (et par définition) que le s.e.v. en question est engendré par les deux vecteurs (1,0,1,-5) et (0,1,1,0).

En fait, par rapport aux équations z=x+y et t=-5x, on a juste ajouté les deux équations débiles x=x et y=y qui au fond signifient qu'il n'y a aucune condition sur x et y, c'est à dire qu'on peut prendre n'importe quoi pour x et y.
Le but du jeu étant bien sûr d'écrire toutes les variables, y compris x et y, en fonction uniquement de x et de y

[Vlad-Drac]

merci pour ta reponse complete, pour information j'ai repris une formation et je n'ai pas fais de maths depuis tres longtemps (~10ans) donc les bases sont loin .. mais merci.

pour la suite de l'exercice on me demande : (je réécris l'ensemble)

On considère les sous-espaces suivants de R4
Le sous-espace U engendré par les
vecteurs (2, 1, 0, 1) et (2, 0, 1, 1) et le sous-espace W défini par le système d’équations suivant
X2 + X3 − X4 = 0,
X1 + 5X2 = 0
1. Trouver les équations cartésiennes du sous-espace U et une base du sous-espace W.
ok
2.Trouver les équations, une base et la dimension du sous-espace U ∩ W.

j'ai ecris:
x+y-z=0
5x+t=0
x-y-z-t=0 (equation que j'ai determiné au petit1)
j'obtient
x=(-1/5)t
y=z-x
z=(-1/2)t
t=t

et U ∩ W = vect{-2,7,-5,10)
et sa dimension est 1
est ce juste ?

3. Trouver les équations, une base et la dimension du sous-espace U + W.
4. Répondre aux questions précédentes dans le cas où au lieu de R on considère un corps
de caractéristique 2.

pour la 3 je ne sais pas si on parle de somme direct ou non. et je ne vois pas trop, en fait le cours me dit :
On appelle somme des sous-espaces ... tout vecteur de la somme se « décompose » en la somme (pas nécessairement unique) de vecteurs dont chacun est dans l'un des sous-espaces.

[Ben314]

J'ai des doutes concernant l'équation (unique) que tu as trouvé pour le s.e.v. engendré par (2, 1, 0, 1) et (2, 0, 1, 1) :
Un vecteur (x,y,z,t) est dans ce s.e.v. si et seulement si il existe deux réels a et b tels que
(x,y,z,t) = a.(2, 1, 0, 1) + b.(2, 0, 1, 1)
c'est à dire x=2a+2b ; y=a ; z=b ; t=a+b.
Si de tels a et b existent, y'a pas le choix, c'est forcément a=y et b=z et dans ce cas, les deux autres équations sont vérifiées à condition que x=2y+2z et t=y+z.
Donc les (et pas la) équation du s.e.v. engendré par (2, 1, 0, 1) et (2, 0, 1, 1) c'est x=2y+2z et t=y+z.

Et si tu cherche UV en utilisant les équations cartésienne des U et de V (ce qui n'est pas le plus malin), ça te fait 4 équations et pas 3.

[Ben314]

J'ai des doutes concernant l'équation (unique) que tu as trouvé pour le s.e.v. engendré par (2, 1, 0, 1) et (2, 0, 1, 1) :
Un vecteur (x,y,z,t) est dans ce s.e.v. si et seulement si il existe deux réels a et b tels que
(x,y,z,t) = a.(2, 1, 0, 1) + b.(2, 0, 1, 1)
c'est à dire x=2a+2b ; y=a ; z=b ; t=a+b.
Si de tels a et b existent, y'a pas le choix, c'est forcément a=y et b=z et dans ce cas, les deux autres équations sont vérifiées à condition que x=2y+2z et t=y+z.
Donc les (et pas la) équation du s.e.v. engendré par (2, 1, 0, 1) et (2, 0, 1, 1) c'est x=2y+2z et t=y+z.

Donc si tu cherche UV en utilisant les équations cartésienne des U et de V (ce qui n'est pas le plus malin), ça te fait 4 équations et pas 3.

[Vlad-Drac]

Et si tu cherche UV en utilisant les équations cartésienne des U et de V (ce qui n'est pas le plus malin), ça te fait 4 équations et pas 3.

Et c'est quoi le plus malin ?

[Ben314]

Quand dans un cas comme ici (où tu connait à la fois les équation cartésienne ET les équations paramétriques des deux s.e.v. U et V), le plus malin pour évaluer UnV, c'est d'utiliser les équations paramétrique de l'un pour décrire les éléments d'un des deux ensemble puis les équation cartésiennes de l'autre pour savoir à quelle condition le vecteur en question est aussi dans le deuxième s.e.v.

Par exemple, ici, U est engendré par (2, 1, 0, 1) et (2, 0, 1, 1) donc tout vecteur de U est de la forme
(x,y,z,t)=a.(2, 1, 0, 1)+b.(2, 0, 1, 1)=(2a+2b, a, b, a+b) avec a et b quelconques (équations paramétriques de U)
Et un tel vecteur est dans V ssi y + z − t = 0 et x + 5y = 0 (équations cartésiennes de V), c'est à dire ssi
a + b - (a+b) = 0 et (2a+2b) + 5a = 0 système qui, après résolution, donne b=-7/2a avec a quelconque c'est à dire
(x,y,z,t)=a.(2, 1, 0, 1)+-7/2a.(2, 0, 1, 1)=a.(-5, 1, -7/2, -5/2) avec a quelconque.
Donc UnV est les s.e.v. engendré par (-5, 1, -7/2, -5/2)

Sinon, ce que je t'inciterais plus que fortement à faire sur cet exercice basique, c'est de déterminer UnV par les 4 méthodes possible :
1) Équations cartésiennes de U et de V.
2) Équations cartésiennes de U et paramétrique de V.
3) Équations paramétrique de U et cartésienne de V.
4) Équations paramétrique de U et de V.
Histoire déjà de vérifier que tu trouve bien 4 fois la même chose, et aussi de voir comment mener les calculs avec les différentes méthodes.

[pascal16]

pour faciliter mes calcul jai remplacer par les equations
x+y-z=0
5x+t=0

je trouve vect de w= {(101-5),(0110)}

attention, tu as écris tes vecteurs (t x y z) au départ et ( x y z t) à la fin.
(101-5) est en fait (-5 1 0 1) qui est un bon début de réponse suivi de (-5 1 1 ... ) aurait été bien