Application linéaire

[audreys]

bonjour,
j'ai un exercices de maths et je n'arrive pas à démontrer les questions de mon exercice.
voilà l'énoncé:
On considère un endomorphisme u non nul de ² tel que u² = u°u (u rond u je ne trouve pas le symbole dsl) = 0 END(²)

1. prouver que u n'est pas inversibles et que ker u différent IR².
En déduire que dim ker u =1.

2. montrer alors qu'il existe une base (e1;e2) de IR² telle que, dans cette base, la matrice de u s'écrive sous la forme:
0 a
0 0

avec a *

En déduire qu'il existe une base (e1';e2') de IR² telle que dans cette base, la matrice de u s'écrive sous la forme:
0 1
0 0

je sais que pour montrer qu'une matrice est inversible , il faut montrer que chaque vecteurs de sa base est indépendant des autre et que dim (Mat) = E (son ensemble de départ)
je ne sais pas comme on peut appliquer cette propriété aux applications linéaires.

Comment dois je démontrer que ker u ?

Merci pour vos réponses
AUdrey

[audreys]

Comment puis je démontrer la 3ème question?
merci d avance pour vos réponses

[yos]

uou=0 signifie que Imu est inclus dans keru. D'où , mais la somme des deux dimensions est 2 et ker u n'est pas de dimension 2 (car u non nul)...
Ensuite tu prends un vecteur e1 non nul dans keru et un vecteur e2 non nul pas dans keru. Ils forment une base et u(e1)=0, et u(e2) est colinéaire à e1 car u(e2) appartient à keru. D'où la matrice.
Pour la troisième question, il faut prendre e'2=e2 et e'1 =u(e2).

[mln]

on peut démontrer que u n'est pas inversible par l'absurde :
Si u est inversible, alors
u°u=0
u=u^(-1)°0
u = 0
Or u est supposée non nulle

[audreys]

merci pour vos réponses

[audreys]

En fait je n'arrive pas a redémontrer pour la question3 qu'il faut prendre e'2=e2 et e'1 =u(e2).
Pourriez vous m'expliuer?
merci d'avance

[yos]

Tu PRENDS ces vecteurs là, et tu calcules la matrice dans cette base et ...oh miracle c'est celle qu'on veut.
Il n'y a pas à démontrer qu'on doit prendre ceux là. On exhibe une base qui marche.