Application linéaire

[mikhail105]

Bonjour, j'ai un problème de démarche pour faire cet exercice.
F={u=(Un) n;)N et u;)C^N;;)n;)N; U(n+2) - (a+b)U(n+1)+a.b.U(n)=0}
On définit l'application f:F->C² par:;) ;)F,f(u)=(u0+u1).
Pour commencer j'ai d'abord posé deux variable dans F , donc soient Q,P ;)F
Montrons que f(Q+P)=k(f(Q))+f(P).
Donc dans mon égalité (tout en haut) je remplace les petit n par 0 et 1 et donc ensuite j'obtiens ceci:
f((Q)+P)={[Q(2)-(a+b)Q(1)+abQ0,Q(3)-(a+b)Q2+abQ(1)],Q(2)-(a+b)Q(1)+abQ0,Q(3)-(a+b)Q2+abQ(1)]}
Mais une fois que je suis là je suis bloqué...:(
Pouvez vous m'expliquer SVP?
Merci d'avance!

[Sourire_banane]

Bonjour, j'ai un problème de démarche pour faire cet exercice.
F={u=(Un) n;)N et u;)C^N;;)n;)N; U(n+2) - (a+b)U(n+1)+a.b.U(n)=0}
On définit l'application f:F->C² par:;) F,f(u)=(u0+u1).
Pour commencer j'ai d'abord posé deux variable dans F , donc soient Q,P F
Montrons que f(Q+P)=k(f(Q))+f(P).
Donc dans mon égalité (tout en haut) je remplace les petit n par 0 et 1 et donc ensuite j'obtiens ceci:
f((Q)+P)={[Q(2)-(a+b)Q(1)+abQ0,Q(3)-(a+b)Q2+abQ(1)],Q(2)-(a+b)Q(1)+abQ0,Q(3)-(a+b)Q2+abQ(1)]}
Mais une fois que je suis là je suis bloqué...
Pouvez vous m'expliquer SVP?
Merci d'avance!

Salut !
Tu l'as dit toi-même : Tu veux montrer que f(Q+P)=f(Q)+f(P) alors comme P+Q est toujours dans F (parce que F est un ev, tu l'as montré ?) f(Q+P) te donne le couple ((Q+P)_0,(Q+P)_1).
Que valent (Q+P)_0 et (Q+P)_1 ?

[mikhail105]

Salut !
Tu l'as dit toi-même : Tu veux montrer que f(Q+P)=f(Q)+f(P) alors comme P+Q est toujours dans F (parce que F est un ev, tu l'as montré ?) f(Q+P) te donne le couple ((Q+P)_0,(Q+P)_1).
Que valent (Q+P)_0 et (Q+P)_1 ?

Je trouve (Q_2+P_2) -(a+b)(Q_1+P1)+ab(Q_0+P_O) pour (Q+P)_0 et (Q_3+P_3) -(a+b)(Q_2+P2)+ab(Q_1+P_1).
Et comme Q+P appartiennent à F...
Est-ce que maintenant je peux dire que c'est une application linéaire?
Merci d'avance

[Sourire_banane]

Je trouve (Q_2+P_2) -(a+b)(Q_1+P1)+ab(Q_0+P_O) pour (Q+P)_0 et (Q_3+P_3) -(a+b)(Q_2+P2)+ab(Q_1+P_1).
Et comme Q+P appartiennent à F...
Est-ce que maintenant je peux dire que c'est une application linéaire?
Merci d'avance

J'ai pas vérifié mais bon ça doit être ça.
Maintenant tu peux distribuer et enlever toutes ces parenthèses, pour rassembler ce qui est en P_... et ce qui est en Q_... et identifie avec ce que tu devrais trouver.

[mikhail105]

J'ai pas vérifié mais bon ça doit être ça.
Maintenant tu peux distribuer et enlever toutes ces parenthèses, pour rassembler ce qui est en P_... et ce qui est en Q_... et identifie avec ce que tu devrais trouver.

Je l'ai fait!! Merci beaucoup de ton aide:)
Bonne soirée

[mikhail105]

et comment je peux prouvé qu'elle est injective?

[Ben314]

Tu prend deux suites U=(un) et V=(vn) toutes les deux dans F (ce qui signifie que...)
Tu suppose ensuite que f(U)=f(V) (ce qui signifie que ...)
Et il faut que tu en déduise que U=V, c'est à dire que un=vn pour tout entier n (c'est assez évident en faisant une ...)

[mikhail105]

Tu prend deux suites U=(un) et V=(vn) toutes les deux dans F (ce qui signifie que...)
Tu suppose ensuite que f(U)=f(V) (ce qui signifie que ...)
Et il faut que tu en déduise que U=V, c'est à dire que un=vn pour tout entier n (c'est assez évident en faisant une ...)

D'accord Pour les deux premieres j'ai compris , mais c'est en faisant quoi que je peux en déduire que U=V :p je comprend vraiment pas

[Ben314]

Si U et V sont dans F, ça veut dire qu'elle vérifient toute les deux la relation blablabla (voir énoncé)
Si f(U)=f(V), ça signifie que u0=v0 et que u1=v1.
Grâce à la relation blablabla, tu en déduit (par une récurrence double) que un=vn pour tout n, donc que U=V.