Application linéaire

[baigori]

Bonjour à tous, n'étant pas très à l'aise avec les questions type démonstrations, j'ai besoin de votre aide :

Soit E un espace vectoriel sur R et k un réel. On note L(k) = { f L(E) / f0f = k.f }

/* L(E) étant l'ensemble des applications linéaires de E dans E (endomorphisme), et f0f : ' f rond f ' */

On suppose que k = 0, on étudie L(0) = { f L(E) / f0f = 0(L(E))

/* Avec 0(L(E)) : ' 0 indice L(E) ' */

1) Montrez que L(0) ne contient aucun automorphisme.
2) Prouvez l'équivalence : Pour tout f L(E), [ f L(0) ] équivaut à [ Im(f) C Ker(f) ]

[Nightmare]

Salut,

1) Tu peux montrer qu'un élément de L(0) ne peut pas être surjectif.

2) Essaye de raisonner sur les éléments de Im(f) et Ker(f).

[baigori]

Salut,

1) Tu peux montrer qu'un élément de L(0) ne peut pas être surjectif.

2) Essaye de raisonner sur les éléments de Im(f) et Ker(f).

D'accord, merci je vais essayer de voir ça.

[splash75]

Posté par Nightmare
Salut,

1) Tu peux montrer qu'un élément de L(0) ne peut pas être surjectif.


La question est que L(0) ne contient aucun automorphisme c'est pas parce qu'on montre que un n'est pas surjective que l'on prouve qu'il n'y en a aucun...

Cordialement

[Archytas]

Splash si tu lis la question d'après, tu te rendras comte qu'effectivement aucune application ne peut être surjective à moins que E soit reduis à {0}.
Cela dit Nightmare je vois pas comment tu peux montrer qu'aucune n'est surjective, j'aurais plutôt tendance à le démontrer de manière certe pas très subtile mais efficace : par l'absurde !

[splash75]

Si on suppose f automorphisme de L(E)
or f est injectif,
on aurait donc f est identiquement nul.
Cela est vrai si l'espace vectoriel est réduit a 0

non Archytas ?

[Archytas]

Si on suppose f automorphisme de L(E)
or f est injectif,
on aurait donc f est identiquement nul.
Cela est vrai si l'espace vectoriel est réduit a 0

non Archytas ?

oui c'est ça (: et c'est vrai uniquement si l'espace est {0} ! ça peut aussi se faire avec f ( f ( f-1 (0))) avec f-1 bijection de f (: !

[baigori]

oui c'est ça (: et c'est vrai uniquement si l'espace est {0} ! ça peut aussi se faire avec f ( f ( f-1 (0))) avec f-1 bijection de f (: !

Je vois, donc le fait que l'espace vectoriel soit réduit à {0} implique que f est injective, or celui-ci étant différent de {0} ce n'est pas le cas, donc f n'est pas injective, elle n'est alors pas bijective et L(0) ne contient aucun automorphisme ?

[baigori]

D'accord, et pour la 2) je dois étudier les éléments de Im(f) et ker(f) en prouvant les 2 implications ?

[manonH]

Bonjour j'aurai besoin d'aide , ceci na rien avoir avec les applications linéaires . (je n'arrive pas encore très bien à utiliser le forum :3 )

Sachant qu'il sont placé dans un répère orthonormé A:(-2;2) , B:(6;4) , c (-2;5) et D(4;4) on me demande dans un exo de déterminer par calcul l'équation réduite de (CD) , (AC) , (AD) et (AB)

puis on me demande , justifier que (AB) et (CD) sont sécantes et démontrer que leur point d'intersection est k(2;3)


Merci de m'aider bonne journée

[Archytas]

@baigori le mieux quand tu veux montrer une inclusion est de partir de l'ensemble que tu veux inclure de l'autre. ça donnerait "soit y appartenant à Imf ... " tu utilises les hypothèses à ta discposition ( f0f=0) et tu dois terminer par "... alors y appartient à Kerf" (:

@Manon, tu sais que les équations de droites se mettent sous la forme y=ax+b or tu connais deux couples (x,y) vérifiés par y=ax+b tu as donc un système de deux équations à deux inconnues à résoudre. Pour le premier tu sais que la droite passe par (-2;2) et (6;4):


PS pour poster un nouveau problème tu as " créer une discussion dans la section supérieure (ou lycée) selon ta filière !

[baigori]

D'accord merci je vois.
Par contre je ne comprends pas une chose : je ne sais pas comment traduire : f L(0).
Car on sais déja que L(0) = { f L(E) ........ }.

[Archytas]

D'accord merci je vois.
Par contre je ne comprends pas une chose : je ne sais pas comment traduire : f L(0).
Car on sais déja que L(0) = { f L(E) ........ }.

f appartient à L(0) fof = 0

[baigori]

Pour l'implication : f ;) L(0) --> Imf C Kerf j'ai :
Soit v ;) Imf alors il existe u ;) E tel que v = f(u)
Or f ;) L(0) donc f0f = 0, soit f(v) = 0
Alors il existe v ;) E tel que f(v) = 0
D'ou v ;) kerf

Pour la 2nd implication : Imf C kerf --> f ;) L(0) :
Soit f ;) L(E), on sait qu'il existe v,u ;) E tel que f(v) = 0 et v = f(u)
Alors f0f = 0
Soit f ;) L(0)

Je suis pas sur pour la deuxième, qu'en pensez vous ?

[Nightmare]

La première est bonne, sauf la phrase "Alors il existe v € E tel que f(v)=0" qui est inutile, la question n'était pas de savoir si le noyau était non vide (ce qu'affirme la phrase précédente).

Pour la seconde, il faut montrer que "pour tout u, fof(u)=0". Je ne vois pas dans ta démonstration de quantification universelle, c'est gênant.

[Archytas]

Oui nightmare à raison ; tu veux montrer que pour tout x de E fof(x) = 0 sachant que Imf C Kerf. (n'hésite pas comme moi à traduire les implications en français c'est beaucoup plus clair) tu peux par exemple partir de y=f(x) et étudier f(y) !

[baigori]

Ok :)
Pour tout u € E, on sait qu'il existe v € E tel que v = f(u)
alors f(v) = f(f(u)) car f € L(E)
Or Imf C Kerf donc f(v) = 0
d'ou f(v) = f0f = 0
Soit f € L(0)

[Archytas]

Ok
Pour tout u € E, on sait qu'il existe v € E tel que v = f(u)
alors f(v) = f(f(u)) car f € L(E)
Or Imf C Kerf donc f(v) = 0
d'ou f(v) = f0f = 0
Soit f € L(0)

C'est ça, mais il manque encore quelques quantificateurs, et f(v)=fof=0 c'est pas très rigoureux car fof désigne une fonction et f(v) un vecteur, à la place de "d'ou f(v) = fof = 0" tu peux conclure par "donc pour tout x de E fof(x) = 0 " tout simplement comme tu étais partis et le " car f appartient à L(E)" n'a pas de sens et n'est pas utile, sinon c'est très bien, tu as compris comment faire !

[baigori]

D'accord très bien merci ! j'ai toujours du mal avec les démonstrations car je ne sais jamais par quoi partir, je n'aurais jamais pensé à débuter par y=f(x).

[Archytas]

D'accord très bien merci ! j'ai toujours du mal avec les démonstrations car je ne sais jamais par quoi partir, je n'aurais jamais pensé à débuter par y=f(x).

Oui, mais à force d'en faire tu le verras de plus en plus vite ne t'en fais pas et certaine méthodes sont vraiment bateau retiens bien la première méthode qui est utilisée pour 95% de ce genre de question au moins : pour montrer que E C F : "soit x appartenant à E (...) donc x apprtient à F" et pense bien à traduire les choses pas évidentes ! Traduire Imf C Kerf donne immédiatement le point de départ. Parce que si y est dans Imf alors y est dans Kerf donc f(y)=0 or il existe x de E tel que y = f(x) donc fof(x) =0 (bien sur ça n'est pas une démonstration car c'est "il existe x" mais avec un peu de flaire on le trouve vite) !
Bon courage !