Application linéaire et suite

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

J'essaye de faire un exo mélangeant dimension du noyau d'une application linéaire et les suites, mais je suis bloqué sur une question :

-

Soit un K-ev de dimension finie , et soit un endomorphisme de E.

On note pour tout , .

Je dois montrer qu'il existe un entier inférieur ou égal à tel que

-


J'ai un mal fou à montrer l'existence d'un tel entier !

En revanche, j'ai réussi à montrer qu'il existe un entier tel que , ça c'était pas très compliqué :

j'ai introduit la suite définie par :
et j'ai montré que cette suite est croissante et majorée (par ), donc elle converge.

Comme c'est une suite d'entiers, elle est alors stationnaire à partir d'un certain rang
et donc

soit puis comme on a bien


Mais je n'arrive pas du tout à montrer l'existence d'un entier inférieur ou égal à n qui vérifie ce qui est demandé


Je ne vois pas du tout comment faire.

Si quelqu'un peut m'aider svp.
Je vous remercie d'avance pour vos réponses

[Ben314]

Salut,
Je pense (vu ce que tu as écrit) que tu as déjà montré que la suite Nk est croissante (pour la relation d'inclusion).
L'autre truc pas trop dûr à montrer, c'est que, si N{k+1}=Nk alors forcément N{k+2}=Nk et ça te permet de conclure façilement.

On peut même montrer un peu plus fort : dim(N{k+2})-dim(N_{k+1}) <= dim(N{k+1})-dim(N{k}) ce qui signifie que la suite des dimensions augmente "de moins en moins vite".

[Rha]

Bonsoir,

Tu peux aussi noter que l'application est croissante. Si elle était strictement croissante elle serait injective ce qui est absurde.

[jonses]

Salut,
Je pense (vu ce que tu as écrit) que tu as déjà montré que la suite Nk est croissante (pour la relation d'inclusion).

Oui ça c'est fait

L'autre truc pas trop dûr à montrer, c'est que, si N{k+1}=Nk alors forcément N{k+2}=Nk et ça te permet de conclure façilement.

Pour moi, ça c'est très dur à montrer, j'essaye de montrer ça depuis un bon bout de temps.

Edit : Si , on montre facilement que



La formule du rang pour donne :



Soit alors on dispose de tel que ,donc

alors c'est-à-dire que

D'où on tire que donc sa dimension est nulle

Donc puis comme ,on a l'égalité


Puis on a l'égalité

]

On peut même montrer un peu plus fort : dim(N{k+2})-dim(N_{k+1}) <= dim(N{k+1})-dim(N{k}) ce qui signifie que la suite des dimensions augmente "de moins en moins vite".

Je suis d'accord, c'est un résultat plus fort, mais encore plus dur à montrer que le précédent

[Ben314]

Concernant ça :

L'autre truc pas trop dûr à montrer, c'est que, si N{k+1}=Nk alors forcément N{k+2}=Nk et ça te permet de conclure façilement.

Si tu suppose que N{k+1}=Nk, ça veut précisément dire que, pour tout vecteur x, si f^{k+1}(x)=0 alors f^k(x)=0 (l'implication réciproque étant "triviale")
Prenons maintenant un vecteur x tel que f^{k+2}(x)=0. Comme f^{k+2}(x)=f^{k+1}(f(x)), on peut appliquer notre hypothèse au vecteur f(x) et en déduire que f^k(f(x))=0, c'est à dire que f^{k+1}(x)=0 et, en réutilisant une deuxième fois l'hypothèse (avec x cette fois) on en déduit que f^{k}(x)=0.

[Ben314]

Pour l'autre :

dim(N{k+2})-dim(N_{k+1}) <= dim(N{k+1})-dim(N{k})

Soit .
Comme il existe un s.e.v. de dimension tel que .

Comme on a ce qui signifie que la restriction de à est injective et donc que a la même dimension que .


Or, le fait que (c'est à dire que tout de vérifie ) implique que (tout élémement est de la forme avec donc ). On en déduit que et en paticulier que


Et le fait que implique que . En effet, si alors avec et donc ce qui signifie que et donc que . Evidement, cela entraine que . On en déduit que et sont en somme directe ce qui implique que


C.Q.F.D.