Application Linéaire + Espace Vectorielle
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par stillballin06 » 31 Mar 2008, 21:36
Bonjour, voila je travaille sur exo de math en ce moment, je pense savoir ce qu'il faut faire mais je suis pas vraiment sur. Regardez plutot:
Enoncé : Soit E un E.V. et f un endomorphisme de E dans E tel que : fof = f + f
1°/Determiner Ker(f) ;) Im(f) = ?
Pour celle je pense a : on prend deux vecteur x et y elements de l'intersection.
f(x)=0 => fof(x) = f(o) = f(o+o) = f(o)+f(o)= 0 et 2.f(x)=0
f(x)=y comme f(x)=0 => y=0 D'ou l'intersection = {0}
2°/Determiner Ker(f) + Im(f) = ?
Pour celle-ci je vois pas trop comment faire pour determiner im(f) , j'ai envie de dire que la somme est E mais je sais pas comment le demontrer.
Merci d'avance
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Nightmare
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par Nightmare » 31 Mar 2008, 21:43
Bonsoir.
Attention pour le premier.
soit x dans ker(f) et Im(f)
Alors f(x)=0 et il existe un y tel que f(y)=x
On veut montrer que x=0.
f(x)=fof(y)
d'où fof(y)=0
Mais fof(y)=2f(y)
ainsi f(y)=0 ie x=0
L'intersection est donc réduite à 0.
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Nightmare
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par Nightmare » 31 Mar 2008, 21:52
Pour la 2/ on a envie de dire que Ker(f)+Im(f)=E non?
Montrons le.
Evidemment on a
.
Reste à montrer que
Soit x dans E.
On veut trouver y dans Ker(f) et z dans Im(f) tels que x=y+z
Et si on écrivait
Il est clair que f(x/2) est dans Im(f)
Montrons que (2x-f(x))/2 est dans Ker(f) :
Seul problème : Ma preuve suppose qu'on est dans un corps de caractéristique différente de 2... Il doit y avoir une autre preuve où la caractéristique ne pose pas de problème.
par stillballin06 » 02 Avr 2008, 21:53
Petite question qui peut paraitre a peu bete, peut on seulement conjecturer que f est bijective ??
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Nightmare
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par Nightmare » 02 Avr 2008, 21:59
je ne pense pas que f soit inversible. je cherche un contre exemple.
par alavacommejetepousse » 02 Avr 2008, 23:50
stillballin06 a écrit:Petite question qui peut paraitre a peu bete, peut on seulement conjecturer que f est bijective ??
bonsoir
si je lis bien
f^2 = 2f
si f était bijective en composant par son inverse on aurait
f = 2id
donc la seule application bijective vérifiant l'énoncé est 2id
rem la fonction nulle vérifie l 'énoncé
par alavacommejetepousse » 02 Avr 2008, 23:53
Nightmare a écrit:Seul problème : Ma preuve suppose qu'on est dans un corps de caractéristique différente de 2... Il doit y avoir une autre preuve où la caractéristique ne pose pas de problème.
si la caractéristique est 2
f°f = 0
et Imf C ker f et à part pour l'application nulle l'intersection n'est pas nulle.
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ffpower
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par ffpower » 03 Avr 2008, 00:59
Juste une petite remarque pour montrer que ker f + im f = E dans ce genre d exo .Si on arrive pas a intuiter la formule de decomposition d un x de E comme l a fait nightmare,on raisonne par conditions necessaires on "suppose" que si x s ecrit sous la forme y+z,avec y dans ker f,z dans im f,et en utilisant les hypotheses on essaye de trouver y et z en fonction de x.Ainsi x=y+z.Utilisons le fait que y est dans Ker f en appliquant f
f(x)=f(y)+f(z)=f(z).Utilisons le fait que z est dans im f:on a donc z=f(z') pour un certain z'.alors f(z)=fof(z')=2f(z')=2z.Donc z=f(x)/2,et comme x=y+z,y=x-f(x)/2.Apres cela ne suffit pas pour conclure reste a voir que ce y et ce z conviennent(ie que la condition est suffisante),c est ce qu a fait nightmare ensuite..
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