Application Linéaire + Espace Vectorielle

[stillballin06]

Bonjour, voila je travaille sur exo de math en ce moment, je pense savoir ce qu'il faut faire mais je suis pas vraiment sur. Regardez plutot:

Enoncé : Soit E un E.V. et f un endomorphisme de E dans E tel que : fof = f + f
1°/Determiner Ker(f) ;) Im(f) = ?

Pour celle je pense a : on prend deux vecteur x et y elements de l'intersection.
f(x)=0 => fof(x) = f(o) = f(o+o) = f(o)+f(o)= 0 et 2.f(x)=0
f(x)=y comme f(x)=0 => y=0 D'ou l'intersection = {0}

2°/Determiner Ker(f) + Im(f) = ?

Pour celle-ci je vois pas trop comment faire pour determiner im(f) , j'ai envie de dire que la somme est E mais je sais pas comment le demontrer.

Merci d'avance

[Nightmare]

Bonsoir.

Attention pour le premier.

soit x dans ker(f) et Im(f)

Alors f(x)=0 et il existe un y tel que f(y)=x

On veut montrer que x=0.
f(x)=fof(y)
d'où fof(y)=0
Mais fof(y)=2f(y)
ainsi f(y)=0 ie x=0
L'intersection est donc réduite à 0.

[Nightmare]

Pour la 2/ on a envie de dire que Ker(f)+Im(f)=E non?

Montrons le.

Evidemment on a .
Reste à montrer que

Soit x dans E.
On veut trouver y dans Ker(f) et z dans Im(f) tels que x=y+z

Et si on écrivait

Il est clair que f(x/2) est dans Im(f)
Montrons que (2x-f(x))/2 est dans Ker(f) :



Seul problème : Ma preuve suppose qu'on est dans un corps de caractéristique différente de 2... Il doit y avoir une autre preuve où la caractéristique ne pose pas de problème.

[stillballin06]

Petite question qui peut paraitre a peu bete, peut on seulement conjecturer que f est bijective ??

[Nightmare]

je ne pense pas que f soit inversible. je cherche un contre exemple.

[alavacommejetepousse]

Petite question qui peut paraitre a peu bete, peut on seulement conjecturer que f est bijective ??

bonsoir
si je lis bien
f^2 = 2f

si f était bijective en composant par son inverse on aurait

f = 2id

donc la seule application bijective vérifiant l'énoncé est 2id

rem la fonction nulle vérifie l 'énoncé

[alavacommejetepousse]

Seul problème : Ma preuve suppose qu'on est dans un corps de caractéristique différente de 2... Il doit y avoir une autre preuve où la caractéristique ne pose pas de problème.

si la caractéristique est 2

f°f = 0

et Imf C ker f et à part pour l'application nulle l'intersection n'est pas nulle.

[ffpower]

Juste une petite remarque pour montrer que ker f + im f = E dans ce genre d exo .Si on arrive pas a intuiter la formule de decomposition d un x de E comme l a fait nightmare,on raisonne par conditions necessaires on "suppose" que si x s ecrit sous la forme y+z,avec y dans ker f,z dans im f,et en utilisant les hypotheses on essaye de trouver y et z en fonction de x.Ainsi x=y+z.Utilisons le fait que y est dans Ker f en appliquant f
f(x)=f(y)+f(z)=f(z).Utilisons le fait que z est dans im f:on a donc z=f(z') pour un certain z'.alors f(z)=fof(z')=2f(z')=2z.Donc z=f(x)/2,et comme x=y+z,y=x-f(x)/2.Apres cela ne suffit pas pour conclure reste a voir que ce y et ce z conviennent(ie que la condition est suffisante),c est ce qu a fait nightmare ensuite..