Application, injection et identité.

[Trident]

Bonjour, je rencontre un petit problème pour un exercice sur les applications.


Soit E un ensemble et soit f une application qui va de E dans E.

f : E -----> E


On suppose que f ° f = f

a) Démontrez que si f est injective, alors f = IdE (l'identité de E).

Alors, j'ai montré par l'absurde que f était l'identité mais je n'ai pas utilisé le fait que f était injective, il y a donc deux solutions :

-soit j'ai faux

-soit si f est une application de E dans E et que f ° f = f , alors f = IdE


Rappel :

f : E -----> E
: x -----> f(x)

et


f°f : E -----> E
: x -----> f ( f(x) ) = f(x) car f°f= f par hypothèse.

On veut montrer que f est l'identité de E, c'est à dire que pour tout x appartenant à E, on a f(x) = x .
On suppose par l'absurde la négation de cette énoncé, c'est à dire qu'on suppose qu'il existe x0 appartenant à E tel que f(x0) différent de x0 .

Donc f ( f(x0) ) est différent de f ( x0) , ce qui est absurde, car comme f ° f = f , on a en particulier, f( f(x0) ) = f(x0).
Donc il n'existe pas de x0 appartenant à E tel que f(x0) soit différent de x0 donc pour tout x appartenant à E, on a f(x) = x d'où f est l'identité de E.

Je sens que j'ai fais un oubli.. :mur:

Merci de votre aide.

[Doraki]

f(x0) différent de x0 .
Donc f ( f(x0) ) est différent de f ( x0)

Tu penses quoi de f : {0 ; 1} -> {0 ; 1} où f(0) = f(1) = 0 ?

[Trident]

Tu penses quoi de f : {0 ; 1} -> {0 ; 1} où f(0) = f(1) = 0 ?

Tu viens de régler le problème en 10 secondes, merci. :ptdr:

Mon truc est vrai justement parce qu'elle est injective donc et on a bien utilisé le fait qu'elle est injective, merci !

[Le_chat]

Sinon, sans passer par l'absurde. Si x est dans E, alors f(f(x))=f(x) par hypothèse, donc par injectivité f(x)=x.

[Trident]

Sinon, sans passer par l'absurde. Si x est dans E, alors f(f(x))=f(x) par hypothèse, donc par injectivité f(x)=x.

Ouais en faite, c'est parce que pour tout x et x' dans E tels que f(x) = f(x') , on a x = x' .
Donc comme f(x) est dans E (f est à valeur dans E) , et que l'égalité f(f(x)) = f(x) est toujours vérifiée, on a toujours f(x)=x en gros ?

[Le_chat]

Oui c'est ça. f(x)=f(x')=>x=x', pour x'=f(x)...