Bonjour, jai trouvé deux exercices que je narrive pas à finir, jaurais donc besoin daide pour pouvoir les continuer, merci davance.
I : Soit
un espace vectoriel de dimension
, et
un endomorphisme de
.
1°) On suppose que
est lapplication nulle. Montrer que
={\rm Ker} (f))
.
2°) On suppose que
. Montrer que
est nécessairement pair.
3°) On suppose que
nest pas lapplication nulle et quil existe un entier
tel que
(composée de
avec elle-même
fois) est lapplication nulle (on dit que
est nilpotente). Soit
le plus petit entier tel que
est lapplication nulle. Montrer quil existe un vecteur
tel que
\neq 0)
. Montrer que si
alors la famille de vecteurs
, ... , f^{k_0-1}(v) \))
est libre.
4°) En déduire que si
est nilpotente alors
est lapplication nulle.
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II : On considère
et
deux sous-espaces vectoriels de
tels que
.
On note
.
1°) Montrer que
est un sous-espace vectoriel de
.
2°) Soit
un vecteur non nul de
et
une famille libre de
.
a) De lexistence de ces deux familles libres, que peut-on dire des dimensions de
et
?
b) Montrer que la famille
est libre dans
.
3°) On considère maintenant une famille libre de deux vecteurs
de
. Montrer que
est une base de
.
Pour l'exo I, j'ai réussis les deux premières questions ;
Pour l'exo II, j'ai réussis la première question mais après je bloque ;
Merci d'avance :++:
