Application de Z dans Z

[Crono]

bonsoir!
il y a quelque temps mon professeur m'avait demandé de voir si il existait une application de Z dans Z telle que pour tout n de Z on ait :

(fof)(n)=n+1

je viens d'essayer d'y reflechir mai je ne vois pas trop comment m'y prendre, j'ai essayé de partir sur un raisonement par l'absurde, en pensant qu'une telle application n'existait pas.
Qu'en pensez vous?

[Nightmare]

Bonsoir

Une idée :

f(f(n))=n+1 => f(f(f(n)))=f(n)+1 => f(n+1)=f(n)+1

[Mikou]

l'unique solution est f(n)=n or fof(n) = n, donc il n'en existe pas

[grabote]

Attenton Nightmare, rien ne suppose que f est linéaire. D'ailleurs si f etait linéaire alors fof le serait aussi et on aurait (fof)(ax+y)=a*(fof)(x)+(fof)(y) ce qui est faux car:
(fof)(ax+y)=ax+y+1
a*(fof)(x)+(fof)(y)=a(x+1)+(y+1)=ax+y+a+1.

[murray]

f(f(n))=n+1 => f(f(f(n)))=f(n)+1

bonjour,
je ne comprends pas comment tu arrives à cette implication

[murray]

je viens de comprendre, ô temps pour moi. Intéressant cette exercice

[abel]

Je pense que c'est impossible car on a :
- fof bijective donc f est bijective d'une part
- de + fof est croissante donc f est croissante ou décroissante
et comme f est bijective, alors f est strictement croissante ou strictement décroissante.

- Déjà dans N cette application est impossible car ceci impose que f soit strictement croissante (car si f est décroissante cela contredit al bijectivité) et f(n)>=n et donc la seule possibilité est f(n)>=n (comme dit + haut) ce qui est absurde car si f(n) = n alors fof(n) = n et si f(n)>n alors f(n)>=n+1 et donc fof(n)>=f(n+1)>=n+2 ce qui est encore absurde.
- Maintenant, il faudrait généraliser cela dans Z car cette fois on peut avoir f décroissante et bijective....

le resultat de Nightmare n'est pas faux dans le cas d'une fonction croissante à mon avis mais l'implication n'est pas détaillée du tout. Car la bijectivité et la stricte croissance impose que f(n+1)=f(n)+1 sinon l'ordonnée f(n)+1 ne serait pas atteinte.
Du coup on a : f(n) = n+f(0) ce qui ne colle pas avc l'hypothèse de départ donc si f est croissante c'est impossible

- si f est décroissante on trouve que : f(n+1)=f(n)-1 (pour les memes raisons) et c'est aussi impossible (à moins de prendre f(0)=1/2)

Du coup une telle application n'existe pas enfin je pense.

PS : je ne suis pas sur a 100% des justifications apportées pr le f(n+1)=f(n)+1 car cela me semble logique sur un dessin mais je n'ai pas fait de preuve....

En tous cas chapeau pour nightmare si tu as pensé à tout ça pr ton implication....en 1ere S....tu dois bien t'emmerder....

[yos]

de + fof est croissante donc f est croissante ou décroissante
.

J'y crois pas trop.

[abel]

Effectivement j'ai pris la reciproque de " la composée de 2 application de meme monotonie est croissante" qui n'est pas tjs vraie.... :mur:

Finalement l'argument de f(n+1) = f(n)+1 est tjs vrai car il se justifie bien comme ca : fof(f(n)) = f(n)+1 = f(n+1) (et ca devait etre l'argument de Nightmare posté + haut) donc les fonction comme ceci n'existent pas....

[murray]

Effectivement j'ai pris la reciproque de " la composée de 2 application de meme monotonie est croissante" qui n'est pas tjs vraie.... :mur:

contre exemple: f(n)=1/n f(f(n))=n qui est croissant sur Z
pourtant, f n'est ni croissante ni décroissante sur Z.

[Mikou]

elle est croissante et decroissante en meme tps justement ...

[yos]

De plus elle doit aller de Z dans Z. Le contre-exemple de murray n'est donc pas bon. Je propose f(n)=n pour n différent de 0,1,2,3,4,5, et f(n)=5-n sinon.

[yos]

Pour revenir à la question initiale, il est clair que c'est l'argument de nightmare qui fait marcher les choses. Il signifie que la suite f(n) est arithmétique de raison 1, donc f(n)=n+k (où k=f(0)) et là on voit que ça ne marche pas.

[Crono]

sauf que ceci est vrai dans N,non?

si on prend la suite arithmetique telle que f(n+1)=f(n)+1
alors on a f(n)=f(0)+n
sauf que 0 n'est pa le premier terme puisque n peut prendre des valeurs négatives

ne trouvez vous pas cela intriguant? :)

[Crono]

En fait j'ai lu un peu vite tu n'a jamais dit que f(0) était 0
quoi qu'il en soit quand tu dis que cela ne marche pas tu signifie qu'il faut prendre un f(0) or celui la n'existe pas car f va de Z dans Z ?

[abel]

Dans N le raisonnement est tjs valable et il impose f(n)=n+1/2 (fof(n) = n+1) ce qui est impossible dans N mais c'est possible de Q dans Q.

[murray]

De plus elle doit aller de Z dans Z. Le contre-exemple de murray n'est donc pas bon.

je ne vois pas en quoi mon contre exemple n'est pas valide. j'ai bien que f(f(n)) est monotone alors que f ne l'est pas. f(f(n)) est bien définie sur Z, l'ensemble de définition de f n'a aucune importance. De plus je ne comprends pas Mikou pourquoi tu dis que la fonction est croissante et décroissante en même temps.

[Crono]

murray :
si f(n)=1/n, ta fonction ira de Z dans Q

abel :
si ceci est impossible dans N qui est inclus dans Z, on peut directement dire que ces fonctions n'existent pas?
de plus je ne vois pas pourquoi cela impose f(n)=n+1/2
f arithmetique => f(n)=n+k => n+1=f(n+k)
de la comment deduis tu la valeur de k?

[abel]

on a fof(n)=n+1 donc :
fofof(n)=f(n+1)
donc fof(f(n)) = f(n+1 et donc f(n)+1 = f(n+1) ce qui définit une suite arithmetique, il suffit de trouver le premier terme qui convient et je trouve 1/2...

[yos]

Pour Crono : il n'y a aucun problème à définir une suite arithmétique sur Z plutôt que N. La formule classique f(n)=f(0)+nr (où r est la raison) reste valable et on peut tout aussi bien écrire f(n)=f(23)+(n-23)r. f(n) s'exprime à l'aide d'un terme et de la raison. Quant à l'argument "f(0) n'existe pas"... je te laisse y réfléchir.