Application bijective

[sarah21]

Bonsoir!
J'ai besoin d'aide pour un exercice de DM que je n'arrive pas du tout à faire.
Il s'agit de montrer que l'application suivante est bijective:
f: N×N -> N
(x,y)-> 2^x(2y+1)-1
J'ai essayé de prouver la surjectivité et l'injectivité de l'application mais j'ai l'impression que ça ne mène à rien
Si quelqu'un a une idée de la manière dont il faut procéder je lui en serai très reconnaissante!
Merci d'avance

[LB2]

Bonsoir,

pense à la décomposition d'un entier naturel en facteurs de puissances de nombres premiers, unique à l'ordre près.
Rassemble tous les facteurs des nombres premiers différents de 2.
Réfléchis et conclus!

Bon courage

[mathelot]

Soit


Pour l'injectivite, soient des entiers naturels.

Supposons .
Sans perte de généralité, supposons.il vient

D'après le théorème de Gauss, est premier avec donc divise 1.donc donc ..d'où d'où .
L'application g est donc injective.

Concernant la surjectivité:
Pour z appartenant à
écrivons la factorisation en facteurs premiers de z:

où p_2,p_3,..p_n sont des entiers premiers impairs.
le produit est impair,s'écrit donc
Donc g est surjective.

g étant bijective, f l'est également.