Application bijective - Prépa SUP

[Zarnoss]

Bonjour,
Je bloque sur un passage de la solution d'un exercice. Ce dernier porte sur les structures algébriques mais ma question relève plus du champ des applications. Sur l'image suivante, la transition signalée par une flèche rouge me pose problème.



Est-ce que cette transition sous-entend que si :
*f injective de E vers E
*E fini
alors f bijective ?
S'il y a une autre condition qui intervient, laquelle ?
Je vois pas comment on peut avoir la surjectivité juste en ayant l'injectivité et la finitude de l'ensemble.
Je sais que f(E) C E mais comment montrer que E C f(E) ?

PS : Je pense que la réponse ça va être un truc simple que j'ai pas cerné, du coup je m'excuse en avance mais j'arrive vraiment pas à voir de quoi il s'agit.

[infernaleur]

Salut,
En effet si tu as une application avec E et F des ensembles FINIS et de même cardinal alors on a équivalences entre les propositions suivantes:
(i)f est injective.
(ii)f est surjective.
(iii) f est bijective.

En fait c'est plutôt logique car si tu as une fonction de E dans F qui est injective sa veut dire que la fonction admet un unique antécédent pour chaque élément de F. Donc comme E et F ont même cardinal forcément tous les éléments de F auront un antécédent dans E, ce qui veut dire que la fonction est surjective.

[Zarnoss]

Merci pour la réponse, c'est nettement plus clair maintenant !

[infernaleur]

Et la finitude des ensembles est très importante, car si tu prend l'application:


Cette fonction est injective mais elle n'est pas surjective, (pourtant les ensembles de départ et d'arrivés sont les mêmes).

[Ben314]

...si tu as une fonction de E dans F qui est injective sa veut dire que la fonction admet un unique antécédent pour chaque élément de F....

????????

[infernaleur]

...si tu as une fonction de E dans F qui est injective sa veut dire que la fonction admet un unique antécédent pour chaque élément de F....

????????

Elle veut rien dire ma phrase ?

[infernaleur]

Tout élément de F admet un unique antécédent par f plutôt, pardon.

[Ben314]

...si tu as une fonction de E dans F qui est injective sa veut dire que la fonction admet un unique antécédent pour chaque élément de F....

Rappel :
Soit une application de l'ensemble dans l'ensemble .
- Pour tout on appelle image de par l'élément (unique !!!) .
- Pour tout on appelle antécédents de par le(s) (éventuels) élément(s) tels que .
- On dit que f est injective lorsque tout admet au plus un antécédent (i.e. que pour tout fixé, l'équation admet soit aucune, soit une solution)
- On dit que f est surjective lorsque tout admet au moins un antécédent (i.e. que pour tout fixé, l'équation admet au moins une solution)
- On dit que f est bijective lorsque tout admet un unique antécédent (i.e. que pour tout fixé, l'équation admet exactement une solution)