Antécédent par double composition

[Charmander]

Bonjour, j'ai un exercice de DM en Maths Sup très intéressant mais qui me bloque:

Il s'agit d'étuder la bijectivité de l'application I de R^R dans R^R, qui à toute fonction f associe fof.

Il est évident que I n'est pas injective en prenant par exemple la fonction IdR et une fonction involutive de R dans R, qui ont la même image IdR par I.
Cependant, je n'arrive pas à prouver la non-surjectivité de I: il s'agit de trouver un contre-exemple g dans R^R qui n'a pas d'antécédent, càd que g n'est pas la double composition d'une fonction f et surtout le PROUVER. J'ai essayé de raisonner sur la parité, la positivité ou encore le degré mais cela ne mène pas à grand chose... Aidez moi !

Merci d'avance

[chombier]

Bonjour, j'ai un exercice de DM en Maths Sup très intéressant mais qui me bloque:

Il s'agit d'étuder la bijectivité de l'application I de R^R dans R^R, qui à toute fonction f associe fof.

Il est évident que I n'est pas injective en prenant par exemple la fonction IdR et une fonction involutive de R dans R, qui ont la même image IdR par I.
Cependant, je n'arrive pas à prouver la non-surjectivité de I: il s'agit de trouver un contre-exemple g dans R^R qui n'a pas d'antécédent, càd que g n'est pas la double composition d'une fonction f et surtout le PROUVER. J'ai essayé de raisonner sur la parité, la positivité ou encore le degré mais cela ne mène pas à grand chose... Aidez moi !

Merci d'avance

Si tu trouves, ça m'intéresse !

Il faut exhiber une fonction g telle que, pour toute application f de R dans R, il existe un réel x0 tel que f(f(x)) est différent de g(x), c'est à dire que g est différent de f o f quel que soit f.

(Je sais, je ne t'aide pas, j'essaie juste d'avancer un peu)

Bon courage

[wserdx]

Si tu regardes ce qui se passe pour un ensemble à 2 éléments (par exemple {0,1}), tu trouves qu'il y a 4 fonctions, et seulement 3 sont de la forme fof.
Celle qui n'a pas d'antécédent est
g(0)=1, g(1)=0.

Regarde alors la fonction définie sur R par
g(x)=x pour tout x sauf 0 et 1
et g(0)=1 g(1)=0.

Que penses-tu de g ?

[Monsieur23]

Aloha,

Si tu trouves, ça m'intéresse !

Il faut exhiber une fonction g telle que, pour toute application f de R dans R, il existe un réel x0 tel que f(f(x)) est différent de g(x), c'est à dire que g est différent de f o f quel que soit f.

(Je sais, je ne t'aide pas, j'essaie juste d'avancer un peu)

Bon courage

Est-ce que tu (ou quelqu'un d'autre) as une réponse ?