Anneaux

par **jeje56** » 14 Sep 2008, 13:05

Bonjour à tous,

Je ne sais pas comment démarrer cet exo sur les anneaux :

MQ il existe un unique d entier naturel tel que : aZ+bZ=dZ avec a et b dans Z

Mon intuition me dit que d=pgcd(a,b)... mais comment le montrer ?

Merci bcp d'avance

par **miikou** » 14 Sep 2008, 13:14

alors d=pgcd(a,b)
d'apres bezout il existe k,k' dans Z² tq ak+bk'= d
donc d est dans aZ+bZ, que peut tu en deduire ?

par **alben** » 14 Sep 2008, 13:18

Bonjour,
ben oui c'est ça. Montre d'abord l'existence : si x(aZ+bZ) alors x=a.q+b.p avec p et q dans Z. mais a=d.m et b=d.n donc x= d.(m.q+n.p) d'où l'inclusion dans un sens. Pour l'inclusion dans l'autre sens, il faut utiliser Bezout
et enfin montrer l'unicité je pense aussi avec Bezout

par **jeje56** » 14 Sep 2008, 13:54

miikou a écrit:alors d=pgcd(a,b)
d'apres bezout il existe k,k' dans Z² tq ak+bk'= d
donc d est dans aZ+bZ, que peut tu en deduire ?

Merci pr ta réponse Miikou

Soit x dans dZ ac d=pgcd(a,b)
Il existe k,k' dans Z² tq ak+bk'= d
donc d est dans aZ+bZ et donc x aussi

Comment MQ que seul d convient...

Est-ce exact ?

Merci ;-)

par **jeje56** » 14 Sep 2008, 14:25

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