DM - Anneaux et structures !

[Lostounet]

Bonjour,

J'ai un long DM à faire cette semaine concernant les structures algébriques de base. Je commence donc dès maintenant pour bien comprendre les concepts sans burnout et sans découragement.

Partie 1.

L'anneau
1. Montrer que, pour (x,x', y, y') dans Q^4, si x + y;)2 = x' + y';)2 alors x= x' et y = y'
2. Montrer que (A, + , x) est un anneau intègre
3. On appelle conjugué d'un élément z = x + y dans A, et on note le nombre x - 2y. On pose
Montrer que, pour tout (z, z') dans A^2, on a:

a)
b)
c) N(zz') = N(z)N(z')

4. Soit U l'ensemble des éléments de A possédant un inverse dans A, et


a) Montrer que (U, x) et (U+, x) sont des groupes
b) Montrer que, pour tout z dans A, on a les équivalences:
i)
ii)
iii)

Voilà pour la partie 1, au post suivant ma résolution.

[Lostounet]

1) Montrons l'unicité de l'écriture d'un élément de Q + Q[;)2]. On suppose donc l'égalité de l'énoncé. Elle équivaut à:

x - x' = ;)2 (y' - y)

Q est un corps, donc x - x' et y' - y sont des rationnels. Mais ;)2 est irrationnel (je peux le prouver pour me souvenir un peu de la preuve). On suppose que y' - y est non nul et on obtient une absurdité.
Forcément x = x' et y = y'

2) Pour montrer que (A, + , x) est un anneau, je vérifie que c'est un sous anneau de (R, + , x).
Z[;)2] est inclus dans R.
1 = 1 + 0;)2 est dans A

Soit a, b dans A. On a:

a = x + ;)2 y
b = x' + ;)2 y'

On a bien a - b dans A
ab = xx' + ;)2(xy') + ;)2 x'y + 2yy' qui reste dans A

Maintenant pour montrer qu'il est intègre, je montre l'équivalence:
i) ab = 0
ii) a = 0 ou b = 0

xx' + ;)2(xy') + ;)2 x'y + 2yy' = 0

(xx' + 2yy') + ;)2(xy' + x'y) = 0

Je propose d'utiliser la question 1) on peut imposer deux conditions sur les 4 variables. Mais je ne sais pas conclure?

[jlb]

oui, c'est la bonne idée.
Suppose par exemple que y est différent de 0, tu as donc xx'y + 2y²y'=0 ( par multiplication par y)et alors tu remplaces x'y par -xy' grâce à l'autre condition. Un petit argument déjà utilisé te donne y'=0 et alors en considérant à nouveau tes conditions tu as que x'=0

[Lostounet]

J'en suis à:

y'(-x^2 + 2y^2) = 0

Est-ce que je peux dire que y' = 0 à ce moment? Pourquoi parce que y' est un entier relatif, et que le produit de deux entiers relatifs non nuls ne peut donner un truc nul...

Qu'en est-il de x^2 = 2y^2 si y' non nul?

[jlb]

J'en suis à:

y'(-x^2 + 2y^2) = 0

Est-ce que je peux dire que y' = 0 à ce moment? Pourquoi parce que y' est un entier relatif, et que le produit de deux entiers relatifs non nuls ne peut donner un truc nul...

Qu'en est-il de x^2 = 2y^2 si y' non nul?

c'est l'argument déjà utilisé si cela est nul racine de 2 serait un rationnel!! donc c'est y' qui vaut 0

[Lostounet]

Ah oui je suis bête !

Donc on a prouvé que si y non nul, forcément y' nul...
Et si je suppose y' non nul, je peux aboutir à y nul... Donc a priori c'est bon comme raisonnement?

Autre chose, pour la question 4 je ne vois pas trop ce qu'il faut faire.
Montrer que U+ est un groupe... bah tout élément admet un inverse par définition, et on a bien dans l'anneau le neutre pour *. Il faut que je montre la stabilité par contre: si je * deux inversibles, est-ce que j'obtiens un inversible?

A priori, oui car il y a commutativité..

[jlb]

Ah oui je suis bête !

Donc on a prouvé que si y non nul, forcément y' nul...
Et si je suppose y' non nul, je peux aboutir à y nul... Donc a priori c'est bon comme raisonnement?

Autre chose, pour la question 4 je ne vois pas trop ce qu'il faut faire.
Montrer que U+ est un groupe... bah tout élément admet un inverse par définition, et on a bien dans l'anneau le neutre pour *. Il faut que je montre la stabilité par contre: si je * deux inversibles, est-ce que j'obtiens un inversible?

A priori, oui car il y a commutativité..

"Et si je suppose y' non nul, je peux aboutir à y nul... Donc a priori c'est bon comme raisonnement?"
Euh non, il te reste à expliquer que forcément x' est aussi nul.[ comme y'=0, utilise l'autre condition]

On aura montrer que si a.b=0 avec a non nul alors b=0
Pour la 4, je vais pas avoir le temps ce soir de regarder, désolé. Bon courage