Anneaux et corps

par **minidiane** » 05 Jan 2007, 11:09

Bonjour j'ai quelques problèmes pour résoudre ces questions, pouvez vous m'aider?

Comment determine t-on un polynome minimal?
Comment montre que R[x]/X4+5X2+4 est un corps?
Comment determiner si une classe est inversible?

par **mathelot** » 05 Jan 2007, 11:29

minidiane a écrit:Comment montre que R[x]/X4+5X2+4 est un corps?

car l'équation est bicarrée.

admet des diviseurs de zéro comme par exemple

, ce n'est donc pas un anneau intègre , à fortiori ce n'est pas un corps.
R[X] admet une division euclidienne, donc l'identité de Bezout est valable.
P est un polynôme premier avec

ssi P et Q verifient Bezout:
UP+VQ=1
en passant aux classes résiduelles:
UP=1
conclusion: P est inversible ssi P est premier avec

i.e ssi P n'admet aucune racine parmi

.
pour (1), je ne sais pas.

par **minidiane** » 05 Jan 2007, 11:45

Merci pour ton aide. Donc en fait ce n'est pas un corps.

par **mathelot** » 05 Jan 2007, 11:57

minidiane a écrit:Merci pour ton aide. Donc en fait ce n'est pas un corps.

oui, car dans cet anneau:

sans qu'aucun des facteurs ne soit la classe nulle.

par **simplet** » 05 Jan 2007, 12:17

Si u est une racine de ce polynome de R[X] (celui cité depuis le départ), celui-ci n'est pas son polynome minimal (sur R) car il n'est pas irréductible (sur R).
Par contre la décomposition donnée plus haut donne bien une factorisation en deux polynomes irréductibles (sur R). Si je peux m'exprimer ainsi, ce sont les polynomes minimaux de leurs racines (sur R).

Remarque TRES utile: ce n'est un corps ssi le polynome est irréductible (sur R), mais dans tous les cas c'est un R espace vectoriel!! De dimension le degré du polynome et de base la classe de 1, X, X^2,... dans cet anneau quotient.

par **minidiane** » 05 Jan 2007, 12:54

Merci simplet pour tes explications.

par **simplet** » 05 Jan 2007, 15:29

J'avais également une méthode plus abstraite mais plus rapide pour la (2) (je n'sais pas si tu connais toutes ces notions mais bon):

Soit K un corps (ici K=R): l'anneau K[X] est alors euclidien donc principal. On a les equivalences:

Q de K[X] est irréductible (sur K) ssi (Q) est premier ssi (Q) est maximal (car non nul) dans K[X] ssi K[X]/(Q) est un corps.

ATTENTION: ce sont des équivalences car l'anneau considéré est PRINCIPAL.

par **minidiane** » 05 Jan 2007, 22:49

Merci pour votre aide.
Il reste plus que la dernière question que je ne sais tojours pas trop comment faire.

par **mathelot** » 05 Jan 2007, 22:54

minidiane a écrit:Merci pour votre aide.
Il reste plus que la dernière question que je ne sais tojours pas trop comment faire.

bah si, relis le post de 11h29. je l'ai fait par Bezout.

par **minidiane** » 06 Jan 2007, 12:48

mathelot a écrit:bah si, relis le post de 11h29. je l'ai fait par Bezout.

A oui excuse moi et merci je pense avoir compris.

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