Anneau

[momo21913]

J'ai du mal a résoudre un exo , si vous pourriez m'aider s'il vous plait

Montrer que l’ensemble F(I,A) des fonctions de I dans A est un anneau (commutatif si A l’est). Quel est l’élément neutre pour l’addition, la multiplication?

[L.A.]

Bonjour,

est-ce que tu sais montrer que sont des anneaux ?

cela revient exactement au même puisqu'on a en quelque sorte

[momo21913]

Oui puisque A est un anneau , Je vous remercie
Et concernant son élément neutre ?

[chombier]

Bonjour,

est-ce que tu sais montrer que sont des anneaux ?

cela revient exactement au même puisqu'on a en quelque sorte

Je ne suis pas sur, je ne voit rien qui dise que I=[1 ; ... ; n] ni même que I est fini ou dénombrable.

L.A., je suppose que les lois + et . sur F(I, A) sont claires ?

Si f,g sont dans F(I, A), (f+g) est définie par : pour tout x de I, (f+g)(x)=f(x)+g(x), où le "+" de gauche est l'addition dans F(I, A) qu'on est en train de définir celui de droite l'addition dans A.

Si tu veux vraiment montrer que (F(I, A), +, x) est un anneau, tu dois mettre les mains dans le cambouis, il faut par exemple d'abord montrer que (F(I, A), +) est un groupe commutatil, avec associativité, élement neutre et tout le toutim.

[Ben314]

Salut,
L'énoncé est plus ou moins "incomplet", vu qu'il ne précise pas quelles sont les loi + et x que l'on met sur F(I,A).
MAIS, c'est pas la peine d'être grand druide pour "inventer" ces infos. "manquantes".
A ton avis, si f et g sont deux fonction de I dans A, on va prendre quoi comme définition de la fonction f+g ?
Et on va définir comment la fonction fxg ?

Aprés, une fois ça compris, tu pense qu'il faut prendre quoi comme fonction g pour avoir f+g=f ?

EDIT : pas vu la réponse de Chombier d'où... légère "redite..."

[momo21913]

C'est la méthode classique mais je ne pense pas que l'on va se casser la tete pour tous Calculer .
Je pense que F(I,A) va hériter les propriétés de l anneau A

[momo21913]

Salut Ben 314 , C est le sujet de notre examen , je pense pas qu'il y 'as des infos manquantes malheureusement !

[Ben314]

Salut Ben 314 , C est le sujet de notre examen , je pense pas qu'il y 'as des infos manquantes malheureusement !

Moi qui suis de la "vieille école" (élévé au Bourbakisme dés le biberon...) je peut t'affirmer que si.
La question "Montrer que TRUC est un anneau n'a évidement aucun sens si on ne précise pas les loi que l'on met sur TRUC" : Tu peut regarder absolument où tu veut, un anneau, c'est la donné d'un ensemble et de deux lois.

Le seul truc, c'est qu'ici, les lois en question sont tellement classiques et évidentes qu'on omet en général de les écrire (comme dans le cas de Z ou tu risque de lire à certains endroits que "Z est un anneau" alors c'est dénué de sens pour celui qui ne comprend pas que l'on sous entend "muni des loi + et x usuelles".
Pour rien te cacher, ça me surprend qu'on trouve ça dans un exam : un étudiant qui voudrait "faire chier" pourrait... trés facilement le faire...
Je sais que chez nous, on fait quand même super gaffe, dans les exams, à ce que les énoncés soient "carré carré" donc je suis persuadé qu'un truc pareil, ça "passerait pas".

[L.A.]

Je ne suis pas sur, je ne voit rien qui dise que I=[1 ; ... ; n] ni même que I est fini ou dénombrable.

Je maintiens, le cardinal de I n'a pas vraiment d'importance ici. Si on sait faire l'exercice pour I={1,2}, on sait le faire pour tout I.

Sur A^2, addition et multiplication se font "composante par composante" (si aucune contre-indication n'est précisée), et sur F(I,A) c'est pareil (on dirait peut-être plutôt "image par image" ou "point par point")

[Ben314]

Sur A^2, addition et multiplication se font "composante par composante" (si aucune contre-indication n'est précisée), et sur F(I,A) c'est pareil (on dirait peut-être plutôt "image par image" ou "point par point")

Oui, mais je ne dirais surement pas que c'est "si aucune contre-indication n'est proposé" vu que, si effectivement, la première fois que l'on te parle de l'anneau A², si on ne te "donne aucune contre-indication" comme tu dit, je vois pas d'où tu va tirer que l'addition et le produit se font terme à terme.

De même, le "sur F(I,A) c'est pareil", c'est surement pas au lecteur de l'inventer : a mon avis, c'est avec des argument de ce type là qu'on "fabrique" des batteries d'étudiants qui écrive absolument n'importe quoi sous prétexte que "c'est comme ça qu'on faisait dans R donc je vois pas pourquoi je ferais pas pareil dans C..."

On invente pas les définitions (déjà existantes) à sa guise.

[momo21913]

Ah malheureusement ces trucs existent chez nous , d'ailleurs c'est la raison pour laquelle j'ai rien pigé dans l'examen je vous laisse imaginer le reste ..

[Ben314]

Je te rappelle quand même que, mon opinion, c'est ça :

... MAIS, c'est pas la peine d'être grand druide pour "inventer" ces infos. "manquantes"...

C'est à dire que, sur le principe, je trouve pas ça malin du tout de la part des enseignants qu'on considère que ce soit "à vous" de compléter les données manquantes d'un énoncé quel qu'il soit (en particulier par rapport aux mauvaises habitudes que ça risque de vous donner)

MAIS, d'un autre coté, vu du coté "élèves", je trouverais pas ça normal qu'un étudiant qui a suivi un cours parlant d'anneau ne soit pas capable de retrouver les infos "manquantes" d'un énoncé pareil (i.e. la définition de f+g et celle de fxg qu'on manipule depuis le Lycée)

En résumé, ce qu moi j'aurais mis comme énoncé, c'est

Montrer que l’ensemble F(I,A) des fonctions de I dans A muni des structures usuelles est un anneau (commutatif si A l’est). Quel est l’élément neutre pour l’addition, la multiplication?

Pour l'étudiant lambda, ça change que dalle : s'il a pas foutu les pieds en cours, il sait pas quelles sont les "structures usuelles" de F(I,A) mais au moins ça demande pas de montrer qu'un ensemble sans structures est un anneau.

[Ben314]

Je te rappelle quand même que, mon opinion, c'est ça :

... MAIS, c'est pas la peine d'être grand druide pour "inventer" ces infos. "manquantes"...

C'est à dire que, sur le principe, je trouve pas ça malin du tout de la part des enseignants qu'on considère que ce soit "à vous" de compléter les données manquantes d'un énoncé quel qu'il soit (en particulier par rapport aux mauvaises habitudes que ça risque de vous donner)

MAIS, d'un autre coté, vu du coté "élèves", je trouverais pas ça normal qu'un étudiant qui a suivi un cours parlant d'anneau ne soit pas capable de retrouver les infos "manquantes" d'un énoncé pareil (i.e. la définition de f+g et celle de fxg qu'on manipule depuis le Lycée)

En résumé, ce que moi j'aurais mis comme énoncé, c'est

Montrer que l’ensemble F(I,A) des fonctions de I dans A muni des structures usuelles est un anneau (commutatif si A l’est). Quel est l’élément neutre pour l’addition, la multiplication?

Pour l'étudiant lambda, ça change que dalle : s'il a pas foutu les pieds en cours, il sait pas quelles sont les "structures usuelles" de F(I,A) mais au moins ça demande pas de montrer qu'un ensemble sans structures est un anneau.
En plus, c'est bien plus clair que c'est quasi une "question de cours" (i.e. de savoir quelles sont les "structures usuelles" sur F(I,A) )

[momo21913]

Tout a fait d'accord avec vous , mais la difficulté n'était pas d'extraire les lois , tout dépend de la manière avec laquelle tu va travailler avec eux .
Toujours la construction d'une loi est difficile .

[L.A.]

@Ben314 : c'est sûr que l'énoncé aurait du mentionner explicitement que les lois utilisées étaient les lois usuelles, surtout pour un exo sur les bases. Maintenant si ça n'y est pas, il faut à mon avis supposer qu'il est sous-entendu que ce sont les lois usuelles... OK ça commence à faire beaucoup de flou, mais entre l'étudiant qui va suppléer au trou dans l'énoncé, "inventer" une loi et faire l'exo, et celui qui ne fait rien, je donnerai les points au premier. De toute façon, plus le niveau augmente, plus il est difficile de passer du temps sur chaque définition, et on est obligé d'acquérir petit à petit certaines habitudes concernant les sous-entendus si on veut avancer :zen:

[Ben314]

De toute façon, plus le niveau augmente, plus il est difficile de passer du temps sur chaque définition, et on est obligé d'acquérir petit à petit certaines habitudes concernant les sous-entendus si on veut avancer :zen:

En ce qui me concerne, je n'ai absolument pas le même sentiment : je pense que, si à un moment donné, on accepte d'avancer sans maitriser les définitions, alors on "avance", certes, mais... droit dans le mur...

[L.A.]

Juste une question : tu es du genre à tout revérifier sur les cartes quand tu travailles sur les variétés non ?

"On vérifie que telle prop ne dépend pas de la carte choisie" --> Bah bien sûr, ça ne va prendre qu'une petite demi-heure de calcul...

:zen: :mur: :dodo:

[Ben314]

Juste une question : tu es du genre à tout revérifier sur les cartes quand tu travailles sur les variétés non ?

"On vérifie que telle prop ne dépend pas de la carte choisie" --> Bah bien sûr, ça ne va prendre qu'une petite demi-heure de calcul...

:zen: :mur: :dodo:

Quel est le rapport avec le fait de maitriser les définitions ?

[L.A.]

Ca me semble le domaine par excellence où tu as beau accumuler des définitions et des définitions, au bout d'un moment, si tu n'as pas un peu de recul, d'intuition, d'invention, ça ne te sert à rien parce que tu ne peux pas saisir la vraie nature des choses. C'est aussi l'un des domaines où on se repose le plus sur la sagacité du lecteur avec des "le lecteur vérifiera que" à toutes les pages... je ne crois pas avoir jamais vérifié un truc comme ça jusqu'au bout, et je me dis toujours que si le type qui l'a écrit ne l'a jamais vérifié non plus mais le tient d'un type qui ne l'a pas vérifié non plus, et ainsi de suite... on est très très mal :zen:

Bien sûr, quand tu as un bagage plus maigre et que tu abordes une nouvelle théorie ou un nouveau domaine, c'est différent (et c'est bien le cas dans cette discussion), il te faut des définitions claires et précises et rien d'autre : je vous autorise à ma jeter des pierres si vous avez cru que je prétendais le contraire :briques: . Mais je pense que ce n'est qu'une étape, et je crois que "l'invention" (il faudrait justement définir ce terme pour qu'on soit bien d'accord, je parle de "bonne invention", d'invention rigoureuse, comme dans le cas où on sait "inventer" la loi produit...) est une bonne qualité d'esprit pour faire des maths.

En bref il y a maîtriser les définitions, et maîtriser plus que les définitions, c'est à dire maîtriser la nature des choses.