Anneau de polynomes

par **tac34** » 12 Nov 2008, 19:42

Bonjour,
Voila j'ai un problème a résoudre et vous le soumets:

Soit

Soit maintenant la famille de polynomes

de

définie par:

Apres avoir montrer que A est un sous anneau de

et que

pour tout

, on nous propose de montrer que tout polynome appartenant à A et de degré n se met sous la forme

avec

Comment faire ? cette question m'a fait penser aux bases dans les sous espaces vectoriels, mais je ne sais comment faire ici dans un sous anneau...

par **ThSQ** » 12 Nov 2008, 20:03

Les P_k forment une base donc tout polynôme s'écrit

Mézalor

est entier, P(1) = .....

Au passage il suffit que P(0) ... P(d°P) soit entier.

par **tac34** » 12 Nov 2008, 20:20

Les

forment une base... mais une base dans quel espace ?

par **ThSQ** » 12 Nov 2008, 20:34

Peu importe, Q[X], R[X], C[X], celui qui te plait le plus (Q[X] n'est pas le plus illogique ici ;)) ... ce qui compte c'est de montrer que les a_i sont des zentiers.

par **tac34** » 12 Nov 2008, 20:44

Pour prouver que les

est une base il suffit de prouver que la famille est libre ie que

Mais comment arriver à ce résultat ?

par **ThSQ** » 12 Nov 2008, 20:47

d°P_k = k .

par **tac34** » 12 Nov 2008, 20:52

OK... donc en fait un polynome est nul si et seulement si tous ces coefficients sont nuls hors coefficient de X^n est a_n d'ou a_n=0 et on redéscend ... c'est ca?

par **ThSQ** » 12 Nov 2008, 21:26

Yep, c'est bien l'idée.

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