Anneau non principal

[waddle30]

salut tout le monde.
pouvez vous m'expliquer s'il vous plait pourquoi l'anneau A=[smb]R[/smb][x,y] n'est pas principal ?
dans notre cours on a pris un un idéal
A=R[x,y]

I={P(x,y) appartient A/p(0,0)=0}

donc si I était principal il existerait un polynôme P générateur de I:

soit E appartient A et F appartient A

impliqueP|E et p|F (relation divise)

implique degré(P)<1 (pour X) et degré(P)<1 (pour Y) la je ne comprend pas pourquoi

implique p=cste ,p[smb]appartient[/smb]I [smb]implique[/smb]P=0 impossible et la non plus pourquoi P ne peut etre nul ?

merci pour vos réponses a+

[barbu23]

Bonjour, :happy3:
On a :


Par absurde, supposons qu'il existe tel que :
Alors : : et .
En écrivant comme un polynôme en à coefficients dans , la relation : montre que , ce qui montre que ne fait pas intervenir .
De même, la relation montre que ne fait pas intervenir .
C'est à dire est un polynôme constant.
C'est à dire
Par conséquent : .
Or, le terme constant du membre de droite est ,alors que celui du gauche est ( Contradiction )
Donc n'est pas principal.

Cordialement. :happy3: