[MPSI] Anneau / Inversible

[Euler07]

Bonsoir,

Dans un exercice on demande de montrer que (A*,X) est un groupe (où A* désigne l'ensemble des éléments inversible de A) Et soit (A,+,X) un anneau.

D'habitude pour montrer qu'un ensemble (G,*) est un groupe on montre qu'il admet un élément neutre, que tout éléments admettent un symétrique et que * soit associative

1) Associativité je vois pas

2) Element neutre : Il contient 1_A

3) Symétrique : Tout élément x-1 de A* admet x comme symétrie

:livre:

[Skullkid]

Peux-tu me rappeler la définition d'un anneau ?

[Euler07]

Peux-tu me rappeler la définition d'un anneau ?

(A,+,x) est un anneau si (A,+) est un groupe abélien, si "x" est distributive sur +, "x" est associative et l’existence d'un élément neutre pour "x"

:livre:

[ev85]

(A,+,x) est un anneau si (A,+) est un groupe abélien, si x est distributive sur +, x est associative et l’existence d'un élément neutre pour x

:livre:

Démonstration du 1/ Qui peut le + peut le -.

[Euler07]

Démonstration du 1/ Qui peut le + peut le -.

Euh j'ai du mal à comprendre :hein:

:livre:

[Skullkid]

Regarde ce que tu veux démontrer, puis relis la définition d'un anneau. Et recommence si ça vient toujours pas.

[Euler07]

On doit montrer que a(bc) = (ab)c pour a,b,c élément de A* bc est inversible et admet c-1b-1 comme inverse. L'inverse de a(bc) est (c-1b-1)a-1. C'est déjà un bon début ?

:livre:

[Skullkid]

On va la refaire en couleurs :

Tu veux montrer que la loi * est associative.

Tu sais que (A,+,*) est un anneau. C'est-à-dire que (A,+) est un groupe commutatif et que * est associative, distributive par rapport à + et admet un élément neutre.

Conclusion ?

[Euler07]

Si (A,+,*) est un anneau , alors * est associative

Je vois pas le lien avec (A*,x) :triste:

:livre:

[Skullkid]

Bon, la loi de laquelle tu munis l'ensemble des inversibles de A c'est la multiplication, la même multiplication qui fait de A un anneau. Donc elle est associative et il n'y a rien à démontrer.

[Euler07]

A mais oui :dodo:
Quand on prend x,y de A*. Alors xy est inversible et admet y-1x-1 comme inverse. Cela prouve quoi ?

:livre:

[Skullkid]

Ça prouve que la multiplication est une loi interne sur A*.

[Euler07]

Ça prouve que la multiplication est une loi interne sur A*.

En effet... Merci Skullkid

:livre: