Anneau euclidien

[Ncdk]

Bonjour,

Voici un exercice dont je ne comprends même l'énoncé, je sais pas par où commencer :mur:

Dans , on pose .
Vérifier que , munis des lois induites par celles de , est un anneau euclidien donc principal. On pourra comme pour se servir du stathme défini par

Je sais que je dois montrer deux choses :
est intégre, mais je sais pas comment m'y prendre.
admet une division euclidienne où et tels que avec ou avec

[MouLou]

Salut. Tu as montré pour commencer que ? L'intégrité devrait immediatement venir...

[Ncdk]

Salut. Tu as montré pour commencer que ? L'intégrité devrait immediatement venir...

Hum, ce n'est pas à vérifier, on doit vérifier seulement que c'est un anneau euclidien, l'ensemble nous est soigneusement donné non ?

En fait je dois trouver un non nul dans tel que x x ?

[Robot]

Tu devrais revoir la définition de l'intégrité d'un anneau !

[Ncdk]

Ah oui non pardon...
J'ai mal lu la définition !

En fait il faut que pour tout implique que ou ?

[Robot]

.. et que .

[Ncdk]

Tu es sûr, j'ai pas ça dans la définition d'anneau intègre, même sur internet.

[Robot]

Archi sûr. Tu n'as pas dû regarder au bon endroit. Ou alors tu ne vois pas que "différent de l'anneau nul" veut exactement dire .

[Ncdk]

Bonjour,

Oui je vois pas pourquoi, être différent de l'anneau nul revient à dire que 0 n'est pas égale à 1.

D'ailleurs, sur mon cours, il est dit que A est intègre, si est le seul diviseur de 0 de A.
Mais on dit qu'un élément a est un diviseur de 0, s'il existe un élément b non nul tel que axb=bxa=0

Je vois pas pourquoi j'ai faux en fait sur ce que j'ai dit plus haut, j'ai appliqué la définition d'un élément est un diviseur de 0, je voulais savoir pourquoi

[Robot]

Bonjour,
Oui je vois pas pourquoi, être différent de l'anneau nul revient à dire que 0 n'est pas égale à 1.

Dans l'anneau nul, on a forcément .
Réciproquement, si alors pour tout élément de l'anneau on a et donc l'anneau est l'anneau nul.

D'ailleurs, sur mon cours, il est dit que A est intègre, si est le seul diviseur de 0 de A.
Mais on dit qu'un élément a est un diviseur de 0, s'il existe un élément b non nul tel que axb=bxa=0

Selon les définitions de ton cours, 0 n'est pas un diviseur de 0 dans l'anneau nul.

Je vois pas pourquoi j'ai faux en fait sur ce que j'ai dit plus haut, j'ai appliqué la définition d'un élément est un diviseur de 0, je voulais savoir pourquoi

Comme tu as dit plusieurs choses, je ne vois pas de quoi tu parles. Peux-tu préciser ?

[Ncdk]

Dans l'anneau nul, on a forcément .
Réciproquement, si alors pour tout élément de l'anneau on a et donc l'anneau est l'anneau nul.

Selon les définitions de ton cours, 0 n'est pas un diviseur de 0 dans l'anneau nul.

Comme tu as dit plusieurs choses, je ne vois pas de quoi tu parles. Peux-tu préciser ?

D'accord merci pour les remarques.

Oui bien entendu :

Hum, ce n'est pas à vérifier, on doit vérifier seulement que c'est un anneau euclidien, l'ensemble nous est soigneusement donné non ?

En fait je dois trouver un b non nul dans tel que ?

[MouLou]

Là tu veux montrer que 0 est un diviseur de 0, ce qui est un peu tautaulogique, car 0xb=0 pour tout b.
Si tu veux montrer qu'il est intègre, tu veux montrer que c'est le seul, autrement dit que si b est un diviseur de 0, alors b=0.

[Robot]

Encore une fois, je rappelle : l'anneau nul n'est pas un anneau intégre.
Et je répète qu'avec la définition citée par ncdk, 0 n'est pas diviseur de 0 dans l'anneau nul.

[MouLou]

Oui Oui on se place dans un anneau non nul de toutes facons

[Ncdk]

Mais c'est pas un anneau nul, c'est l'élément neutre de \mathbb{Z}[j] pour la loi "+".

Donc je peux bien prendre l'élément neutre 0_\mathbb{Z}[j] et montrer que c'est un diviseur de 0.

Pour ça que je comprends pas exactement mon erreur juste en utilisant les définitions.

[MouLou]

Encore une fois: un anneau est intègre (s'il est non nul) et si son seul diviseur de 0 est 0.... Evidement que 0 est un diviseur de 0, c'est pas ça qui t'interesse

[Ncdk]

Ah oui, le seul, je comprends mieux l'intéret de prendre a,b dans l'anneau A et voir que axb=0 implique que a=0 ou b=0, comme ça 0 est le seul dans tous les cas, car 0xb=0 trivialement, j'ai saisis la chose ? :ptdr:

Du coup pour revenir à mon exercice, il faut que je prenne deux éléments dans , donc admettons x et y.

Donc x vérifie : x=a+bj et y vérifie : y=a'+b'j
et le but est de faire x=0 et voir si forcément un des deux doit est nul ?

[MouLou]

Oui c'est exact

[Ncdk]

Oui c'est exact

Pour une fois que je dis pas d'anneries :p

Mais du coup quand je passe au calcul, à moins que je fasses une erreur j'arrive à une impasse, est-ce que c'est judicieux de développer ou pas ?

EDIT : J'ai trouvé, avec l'expression de , que
Et en développant j'ai trouvé aussi que

Par identification peut faire, c'est-à-dire que , , ?
Surement pas ça vu que je vois pas quoi faire, mais je me posais la question justement

[MouLou]

Pour une fois que je dis pas d'anneries :p

Mais du coup quand je passe au calcul, à moins que je fasses une erreur j'arrive à une impasse, est-ce que c'est judicieux de développer ou pas ?

EDIT : J'ai trouvé, avec l'expression de , que
Et en développant j'ai trouvé aussi que

Par identification peut faire, c'est-à-dire que , , ?
Surement pas ça vu que je vois pas quoi faire, mais je me posais la question justement

Commence par vérifier que si a+jb=0, alors a=0 ou b=0.
Puis utilise le fait que soit , et reinjecte dans ton truc, je pense que ca marche