Analyse

[Nelo]

Bonsoir à tous!

Je cherche une preuve au problème suivant:

Soit (E,d) un espace métrique séparable. Supposons que (x_n)n>=1 ne converge pas.
Montrer que (x_n)n est un fermé.

Je pensais régler le problème assez vite.. mais voilà que je bloque dessus depuis un bon temps.

Merci d'avance pour vos suggestions;
Cordialement

ps: je ne comprends pas pourquoi il y a l'hypothèse séparable.. ceci est une partie d'un exercice plus long; en fait on prouve plus loin que c'est absurde que (x_n)n soit un fermé et donc la suite converge;

[Nightmare]

Salut,

euh, c'est faux ce truc là. Je prends par exemple E=[-1;1] munit de distance usuelle induite de R. Alors la suite (sin(n))n ne converge pas, et pourtant l'ensemble des {sin(n), n dans N} n'est pas fermé (puisque dense dans [-1;1] et distinct de ce dernier).

[girdav]

Bonjour,
le mieux serait de mettre le sujet en entier (dans la mesure du possible) parce que le problème est que quand on réfléchit sur une question pendant longtemps les hypothèses sont bien ancrées dans la mémoire et paraissent "évidentes", si bien que l'on peut oublier de toutes les mentionner.

[Nelo]

Voilà tout le sujet sur ce lien, c'est l'exercice 9!

http://www.math.u-psud.fr/~miermont/exercices1_thlim.pdf

Au passage, si quelqu'un sait comment montrer proprement l'homéomorphisme du premier point (i); je ne vois pas bien comment prouver que l'application réciproque est continue..

Merci encore pour votre aide!