Analyse

[pizzouille]

Bonjour,

f(x,y)=x^4+y^4-(x-y)²

Il faut que je montre que 0 est un minimum local en f(x,x) et un maximum local en f(x,0).
Mais je ne sais pas comment faire (je n'ai pas vu la matrice hessienne pour déterminer la nature du point critique)?
Est-ce qu'il y aurais d'autre méthode ou est-ce qu'une personne pourrais m'expliquer cette méthode , s'il vous plaît?

Merci d'avance de votre aide.

[Sylviel]

qu'entends tu par maximum local en f(x,x) ? Ne serait-ce pas maximum local de la fonction x-> f(x,x) ? dans ce cas il suffit d'étudier une fonction d'une variable...

[fourize]

bonjour

OUI pour la 1; calcule la matrice heissienne en 0;
et son determinant ... ect

pour la 2, je n'ai pas trop bien compris

[endy]

Inutile de s'ennuyer avec la matrice hessienne ici ( d'autant qu'à vue de nez, une des valeurs propres de la hessienne est nulle) ; tu dois simplement étudier x->f(x,x) et x->f(x,0), ce qui ne pose guère de problème...

[fatal_error]

salut,
pour la hessienne :

1. tu cherches les solutions
   
   Tu as
   
   
   Sauf erreur, on trouve comme points critiques (x = 0, y = 0), (x=1,y = -1) et donc (x=-1,y=1) (par symetrie)
   
2. On cherche ensuite la hessienne pour chacun des points critiques (x_0,y_0)
   
   
   On calcul chacun des termes pour tout (x,y) et on substituera par la suite avec nos points critiques trouvés précédemment.
   
   
   On évalue pour nos points solutions :
   pour le point (x=0,y=0)
   
3. On détermine si la hessienne est définie positive (minimum local), négative (maximum local), ou ni lun ni l'autre (on a un point selle et on peut rien dire)
   det(H) = 0 donc une valeur propre nulle, donc la matrice est ni def pos, ni def neg, c'est pas un extremum.

Pour le point (x=1, y = -1)

donc les valeurs propres sont de même signe.
tr(H) = 20, donc les deux valeurs propres sont positives.
On déduit H def négative et donc (x=1,y=-1) est un maximum local

Et idem par symétrie pour le dernier point

Sauf erreur, bien sûr...

Edit : je pense pas que ca réponde a ta question dont je saisis mal l'énoncé, mais voila pour la méthode...

[pizzouille]

Merci j'ai compris.

Voici l' énoncé :

f(x,y)=x^4+y^4-(x-y)²

1) Vérifier que (0,0) est un point critique de f.
J'ai calculé la dérivée partielle, je trouve 0 donc c'est un point critique.

2) Montrer que que 0 est un minimum local en f(x,x) et un maximum local en f(x,0).

3) En déduire que f n'a ni maximum local ni minimum local en (0,0).

4) Déterminer les autres points critiques.

[pizzouille]

j'ai compris le fait de se servir de la méthode hessienne, mais y aurais t-il une autre méthode, s'il vous plaît?

[pizzouille]

car on me demande les points critiques dans la dernière question.
C'est pour cela que sa bloque car il faut faire sans les connaitre.

[fatal_error]

ben
f(x,0) admet un max local
et f(x,x) admet un min local
donc quand x vaut 0, f admet un min suivant la droite y = x, et un max suivant la droite y=0, c'est donc ni un min local ni un max local.

[pizzouille]

f(x,x)=2*x^4 >0 donc elle admet un minimum local
f(x,0)=x^4-x²=x²(x²-1)
quand je fais un tableau de variation entre (x²-1) est négative entre -1 et 1 j'en déduit donc qu'elle admet un maximum local?