Analyse réelle

[Trident]

Bonjour à tous, je voudrais simplement savoir si le raisonnement suivant est correct :

Soit f une fonction qui va de [0 ; pi/3] dans R et définie pour tout x appartenant à [0; pi/3] par : f(x)= tan(x)/4

1° Soit la fonction g définie pour tout x appartenant à [0; pi/3] par g(x)= x - f(x).
Montrez que g est croissante.

Pour cela, on calcule la dérivée :

g est dérivable sur [0;pi/3] et pour tout x appartenant à [0;pi/3], on a :

g ' (x) = 1 - f ' (x) = 1 - (1/4)*(1+ tan²(x)) = 1 - (1/4) - (1/4)tan²(x) = (3/4) - (1/4)tan²(x) = (1/4) (3 - tan²(x)).

Ainsi g ' est positive <==> (1/4) ( 3 - tan²(x) ) >= 0 <==> 3 - tan²(x) >= 0 <==> 3 >= tan²(x) <==> 3 >= sin²(x) / cos²(x) <==> sin²(x) <= 3cos²(x) <==> 1 - cos²(x) <= 3 cos²(x) <==> 1 <= 4cos²(x) <==> cos²(x) >= (1/4) Appelons cette dernière inégalité (R).

Or, si x satisfait : 0 <= x <= pi/3 , alors, on a : cos(0) >= cos(x) >= cos(pi/3) car la fonction x -> cos(x) est strictement décroissante sur [0;pi] (donc sur [0;pi/3] ) , ainsi , on a :

0.5 <= cos(x) <= 1 , soit : 0.5² <= cos²(x) <= 1 car x --> x² est croissant sur R+ , c'est à dire :

0.25 <= cos(x) <= 1 donc cos²(x) >= 1/4 . Comme (R) est vraie, par équivalence, g' est positive et donc f est croissante sur [0;pi/3].

[raito123]

Bonjour

Je crois que tu voulais dire g' positive donc g croissante et non f !!
En gros c'est bon mais il y a bcp de dire dont on peut s'en passer notamment la série d’équivalence : tu dois bien savoir que l'application tangente est croissante ( sa dérivée est trivialement positive ) et donc tu peux conclure directement la positivité de g' sur [0,pi/3]

:D

[Trident]

Bonjour

Je crois que tu voulais dire g' positive donc g croissante et non f !!
En gros c'est bon mais il y a bcp de dire dont on peut s'en passer notamment la série d’équivalence : tu dois bien savoir que l'application tangente est croissante ( sa dérivée est trivialement positive ) et donc tu peux conclure directement la positivité de g' sur [0,pi/3]

C'est vrai que une partie n"était pas très utile, mais quand je vois tangente, j'ai tout de suite tendance à remplacer par sin/cos car je ne la connais pas très bien.

[alm]

Bonjour:
A partir de l'étape :

tu peux continuer comme ça:



comme on a

donc g'(x) a le même signe que qui est positif et s'annule en (remarque de ratio123)