Analyse points critiques

[Apockalipso]

Bonjour à tous !
Voici ma fonction : f(x,y) = x²+2y²+2x-12y+16

J'ai donc procédé aux calculs des dérivées partielles, j'ai trouvé les points critiques de f qui sont (-1,3) et j'ai calculé ma matrice Héssienne qui est de ( 2 0) (matrice donc symétrique)
(0 4)

Je dois désormais étudier les points critiques de f; i.e si c'est un maximum, un minimum ou je dois donner une autre conclusion. Pour cela j'ai calculé le det(H(f)) = 2x4 -0 = 8.
Le problème est la, je ne sais comment interpréter le résultat pour dire si cela correspond à un maximum ou minimum.

Je vous remercie par avance pour votre aide et bon dimanche à vous !
Bien cordialement
Guillaume

[pascal16]

explication géométrique
df/dx = 2x-2 -> f est donc selon cet axe décroissante puis croissante, c'est un minimum
df/dy = 4y-12 -> f est donc selon cet axe décroissante puis croissante, c'est un minimum
comme on a un minimum selon deux axes, et que f est différentiable, c'est minimum.

si on retranscrit ça en Vap, elle doivent être toutes du même signe pour que le point singulier soit un extremum (positive = minimum, négative = maximum, cf x²)

[Apockalipso]

D'accord merci de votre aide. Je viens de comprendre du point de vu géométrique.

C'est vrai que j'ai oublié de préciser mais une indication m'étais donnée : Pour chaque point critique, étudier le signe des vp de H(f) avec la trace et le déterminant.

Du coup, mon det(H(f)) = 8 me sert à quoi?

[aviateur]

Bonjour
Puisque
C'est clairement un minimum. L'exercice devrait être terminé à ce stade.
Utiliser la trace et le déterminant de la matrice Hessienne, ici c'est un peu (beaucoup) idiot vu qu'il n'y a pas de terme en hk. Bref
et . Les deux vp sont . Mais qu'est ce c'est con comme indication; car on les voit bien les 2 valeurs propres. !!!

[Black Jack]

Salut,

df/dx = 2x + 2
df/dx = 4y - 12

x = -1 ; y = 3

Point critique (-1 ; 3) ... conforme à ta réponse.

A = d²f/dx² = 2
C = d²f/dy² 4
B = d²f/(dx dy) = 0

AC-B² = 8 > 0 (c'est le déterminant que tu as calculé)

Avec AC-B²> 0 et A > 0 ---> f a un minimum au point (-1 ; 3)
****************

Si on avait eu au point critique :

AC-B² > 0 et A < 0 ---> f a un maximum au point critique.

AC-B² < 0 ---> f n'a ni maximum, ni minimum au point critique.

Si AC-B² = 0, on ne peut pas savoir sans pousser l'étude plus avant si f a ou non un extremum au point critique.

[Apockalipso]

D'accord, merci bien ! Oui c'est pour ça que je ne comprenais pas très bien.. En tout cas je vous remercie à tous pour votre aide!
Bonne fin de week end !

[aviateur]

BlackJ a dit : Si AC-B² = 0, on ne peut pas savoir sans pousser l'étude plus avant si f a ou non un extremum au point critique.

Pas du tout on peut conclure . f est un polynôme de degré 2, si on avait eu
AC-B^2=0 et tr(H(f))>0 c'est un minimum. En effet

et
pour tr(H(f))<0 on aurait eu un maximum.