Analyse fonctionnelle

par **sniperamine** » 31 Déc 2009, 14:39

Bonjour tout le monde , j'ai essayé de démontrer cette inégalité mais il me manquait un terme donc si vous pourriez m'aider ce serait sympa . Donc voilà :
Soient L sous espace vectoriel d'un espace préhilbertien ( E, <.,.>) non complet et x appartient à E et N la norme de E .
Montrer que pour tout x dans E et y,z dans L on al'inégalité suivante :

||<= N(z)(N(x-y)²_d²(x,L))^(1/2)

par **bend** » 31 Déc 2009, 15:27

rappell : d(x,L) = inf { N(x-w) / w L}

indication de reponse :

1- Considere l'application linierai p : E -----> L : la projection orthogonale de x sur L
2 - remarque (d'apres le cours) : E = Imp+ Ker p / ( orthogonale (ker(p) = Im(p))
3 - Remarque que d(x,L) est atteint en P(x)
4 - decompose x sur E--> x = p(x)+ x' ( x' ker(p))
5- Montre que : < x-y ,z > =< p(x) - y ,z>
6 - remarque avec "pythagore " : N²(x-y) - d²(x,L) = N² (p(x) - y)
7 - applique inegalite de cauchy sur < p(x) - y ,z> , tu trouveras le resultat

par **sniperamine** » 31 Déc 2009, 15:36

bend a écrit:rappell : d(x,L) = inf { N(x-w) / w L}

indication de reponse :

1- Considere l'application linierai p : E -----> L : la projection orthogonale de x sur L
2 - remarque (d'apres le cours) : E = Imp+ Ker p / ( orthogonale (ker(p) = Im(p))
3 - Remarque que d(x,L) est atteint en P(x)
4 - decompose x sur E--> x = p(x)+ x' ( x' ker(p))
5- Montre que : =
6 - remarque avec "pythagore " : N²(x-y) - d²(x,L) = N² (p(x) - y)
7 - applique inegalite de cauchy sur , tu trouveras le resultat

Merci bend j'avais utilisé le fait que N²(x-y-az)-d²(x,L) >=0 pour tout a complexe

par **bend** » 31 Déc 2009, 15:43

oui, c'est vrai cette methode est tres simple est tres rapide

par **sniperamine** » 31 Déc 2009, 15:48

bend a écrit:oui, c'est vrai cette methode est tres simple est tres rapide

effectivement je viens de trouver l'erreur calculatoire ta méthode aussi permet de monter que <=N(z)(N²(x-y)_d²(x,L))^(1/2) avec la complétude

par **Arkhnor** » 31 Déc 2009, 16:02

Bonjour.

Si E est supposé non complet, comment peut-on appliquer le théorème de la projection ?
Il faut travailler avec le complété de E, ça ne pose ensuite aucun problème.

par **sniperamine** » 31 Déc 2009, 16:07

Arkhnor a écrit:Bonjour.

Si E est supposé non complet, comment peut-on appliquer le théorème de la projection ?
Il faut travailler avec le complété de E, ça ne pose ensuite aucun problème.

oui t'as vraiment raison du coup ma méthode est la bonne !!

par **bend** » 31 Déc 2009, 16:18

L'espace prehilbertien est completé par la Norme N , donc c'est un espace d'hilbert ...ect

par **bend** » 31 Déc 2009, 16:22

t'as raison , ,je me suis trompé !!!

Analyse fonctionnelle

Analyse fonctionnelle

Qui est en ligne