Analyse fonctionnelle

[Cycla]

Bonjour,

C est l'espace des complexes et Z l'espace des entiers relatifs.
On considère l'espace de Banach E=l^infini(Z,C), constitué des suites bornées x=(xn)n€Z à valeurs dans C et muni de la norme définie par ||x||=sup{|xn|, n€Z}.
Soit S l'application de E dans E définie par la formule
(Sx)n=xn-1 pour tout x=(xn)n€Z € E.

On sait déjà que S est linéaire, continue et inversible dans L(E) (l'ensemble des applications continues de E dans E).
De plus, on a prouvé que si v€C*
S^-1 - v^-1.Id = v^-1.S^-1.(v.Id - S), puis que
(S - v.Id) est inversible dans L(E) (S^-1 - v^-1.Id) est inversible dans L(E).

Soit maintenant u appartenant à C.
On doit prouver que si |u|=1, (S-u.Id) n'est pas inversible dans L(E) en trouvant un vecteur x€E non nul et tel que Sx=ux;
que si |u|>1, S-u.Id est inversible dans L(E);
et que si 0<|u|<1, (S^-1 - u^-1.Id) est inversible dans L(E).

Pourriez-vous m'aider svp, je n'arrive même pas à démarrer !

[Cycla]

Bonjour,

Personne ne peut m'aider pour le cas
si 0<|u|<1, (S^-1 - u^-1.Id) est inversible dans L(E) ?

[hichem00072]

merci ..............