Analyse complexe- théorème des résidus

[gizeh]

Bonjour à tous.

J'ai un problème pour appliquer le théorème des résidus lors du calcul d'une intégrale. L'intégrale en question est int(-R;R) (f(x) dx) avec f(x) = 1/(x^2+4)^4.

Les pôles sont donc 2i et -2i, on ne garde que 2i qui est dans le plan Im>0.
Comme c'est un pôle triple on applique
Res (f,2i)= 1/2 *lim x->2i (d^2/dx^2 ((x-2i)^3 *f(x))
soit Res (f,2i)= 1/2 *lim x->2i (d^2/dx^2 ((x-2i)^3 /(x^2+4)^3)

Or le calcul de la dérivée seconde est très long et pas très intéressant, ce n'est pas ce genre de calculs qu'on nous demande d'habitude.Je suis passée à côté de quelque chose pour éliminer le dénominateur ?

Merci de votre aide!

Cordialement

[lionel52]

Salut,
Je ne comprends pas pourquoi tu ne dis pas que

Donc le résidu est un truc du type cette fonction prise en 2i :

[gizeh]

ça doit être ça que je cherchais ! je regarde si je m'en sors jusqu'à la fin mais en tout cas merci !

[gizeh]

Je bloque quand meme, si je remplace le dénominateur par
\frac{1}{(x^2+4)^4} = \frac{1}{(x-2i)^4(x+2i)^4}
je me retrouve avec du x^2+4 au numérateur, et la dérivée est encore pire à faire vu qu'on est passé à des poles d'ordre 4 plutot que 3..

[lionel52]

Bah le résidu c'est d'après Wiki :



donc tes calculs doivent etre beaucoup moins chiants que ça normalement

[Ben314]

Salut,
Dans des cas comme celui là, perso, j'utilise... la définition : le résidu de f en 2i, c'est le coeff. en du développement en série de Laurent de :

Donc il te suffit de calculer le coeff. en du D.L. (classique) en 0 de et tu aura ta réponse.

[Pythales]

Salut,
Je ne comprends pas pourquoi tu ne dis pas que

Donc le résidu est un truc du type cette fonction prise en 2i :

... et il n'y a plus qu'à remplacer par ...
Où est le problème ?

[gizeh]

Le problème est que ce n'est pas du (x^2+4)^4 mais du (x^2+4)^3 ! Donc pour appliquer son idée ça implique d'avoir x^2+4 au numérateur, ce qui complique la dérivée 3ème. On s'en sort mais c'est long aussi, en tout cas pas aussi simple que ce que Lionel a indiqué. enfin je crois?

[Pythales]

Le problème est que ce n'est pas du (x^2+4)^4 mais du (x^2+4)^3 ! Donc pour appliquer son idée ça implique d'avoir x^2+4 au numérateur, ce qui complique la dérivée 3ème. On s'en sort mais c'est long aussi, en tout cas pas aussi simple que ce que Lionel a indiqué. enfin je crois?

Que vaut ?

[gizeh]

Cela vaut 5/(i*4^6)? je ne vois pas où ça aboutit..

[Pythales]

Cela vaut 5/(i*4^6)? je ne vois pas où ça aboutit..

Ca aboutit à ce que l'intégrale vaut

[gizeh]

je suis d'accord,mais c'est avant que je ne suis pas d'accord!
1/ (x^2+4)^3 =/=1/(x^2+4)^4

J'ai compris la solution proposée mais je ne vois pas comment passer de mon problème à 1/(x^2+4)^4 sans ajouter un numérateur, ce qui complique la triple dérivée. Comment passer de
1/ (x^2+4)^3 à 1/(x^2+4)^4?

[gizeh]

Est-ce que je continue à chercher dans cette voie ou est-ce que vous avez mal lu la question : je ne vois comment passer de mon énoncé :1/ (x^2+4)^3
à 1/(x^2+4)^4
sachant que si c'était j'arriverais à m'en sortir .

[Doraki]

Bonjour à tous.

J'ai un problème pour appliquer le théorème des résidus lors du calcul d'une intégrale. L'intégrale en question est int(-R;R) (f(x) dx) avec f(x) = 1/(x^2+4)^4.

Non on a bien lu l'énoncé ça doit être toi qui l'a mal recopié

[Pythales]

Est-ce que je continue à chercher dans cette voie ou est-ce que vous avez mal lu la question : je ne vois comment passer de mon énoncé :1/ (x^2+4)^3
à 1/(x^2+4)^4
sachant que si c'était j'arriverais à m'en sortir .

Je ne vois pas pourquoi tu dis que c'est un pôle triple, alors que c'est un pôle d'ordre 4.

[gizeh]

Ah oui en effet vous avez tous raison, j'ai fait une erreur au début, c'est bien un exposant 3 et pas 4 : f(x) = 1/(x^2+4)^3. Je suis vraiment navrée de nous avoir fait perdre du temps.
Du coup ça complique les choses, on ne peut plus faire cette méthode.?

[Ben314]

A la limite, on peut faire comme ça... :ptdr:

Salut,
Dans des cas comme celui là, perso, j'utilise... la définition : le résidu de f en 2i, c'est le coeff. en du développement en série de Laurent de :

Donc il te suffit de calculer le coeff. en du D.L. (classique) en 0 de et tu aura ta réponse.

[gizeh]

Je vais faire ça. Du coup c'est le coeff en h^2 du dl en 0 de (1+(h/4i))^-3 ?

[gizeh]

J'ai trouvé Res (f, 2i) =-3i/512. ça vous semble juste ?

[Pythales]

J'ai trouvé Res (f, 2i) =-3i/512. ça vous semble juste ?

Non, comme précisé plus haut il vaut soit ...