Analyse complexe

par **zwijndrecht** » 19 Avr 2023, 15:31

Bonjour,

Soit

une fonction holomorphe sur le disque unité ouvert

.
On suppose que

, pour tout

et pour tout

.

Comment peut-on montrer que

, pour tout

? Je ne vois vraiment pas par où commencer...

Merci d'avance pour votre aide !

par **phyelec** » 19 Avr 2023, 16:31

Bonjour,

votre fonction f est holomorphe sur D donc son module a un maximum M.

par **GaBuZoMeu** » 19 Avr 2023, 19:11

Bonsoir,

Ça va nettement mieux si on dit "un maximum sur tout disque fermé de rayon

".

par **zwijndrecht** » 20 Avr 2023, 09:07

J'y ai pensé, mais je n'obtiens pas grand chose...

Soit

. On pose

et

.

On a, pour tout

,

.

Ensuite, je ne vois pas trop comment faire pour en déduire que

...

par **GaBuZoMeu** » 20 Avr 2023, 12:33

Ce n'est bien sûr pas une majoration de l'intégrale qui va t'aider, mais une minoration.
Tu peux raisonner par l'absurde en supposant

; le but est alors de montrer qu'il existe un entier

tel que

.

par **zwijndrecht** » 21 Avr 2023, 10:42

Ok, je tente quelque chose :

Supposons que

.
Il existe

tel que

.
Par continuité de

, il existe

tel que

, pour tout

.
Par suite,

, ce qui est absurde.

Est-ce correct ?

par **GaBuZoMeu** » 21 Avr 2023, 13:20

Presuqe.
Tu as vu l'idée, mais tu as juste oublié un petit facteur qui vient du fait que tu n'intègres pas sur

mais sur un intervalle de longueur

.

par **zwijndrecht** » 21 Avr 2023, 13:24

Merci ! Effectivement...
Du coup, j'imagine qu'il suffit d'écrire ceci :