Analyse complexe

[mehdibj]

Bonjour a tous ,
j'ai un peu de mal avec l'application du théoreme de Cauchy-Goursat qui dit :
si Fonction Holomorphe , et A un domaine limité avec bords tel que Alors ,


j'ai eu un exemple qui dit :
soit courbe de Jordan reguliére orineté dans le sens positive soit dans . calculer
j'ai pensé que je pouvais dire d’après le théorème que I=0 , mais au lieu de ça la réponse correcte etait
, tels que r>0 , et
on n'en deduira apres que .
Il me semble que a tout les critères pour appliqué le théorème , où est le problème s'il vous plait ?
Merci d'avence.

[tournesol]

Il te manque une hypothèse dans ton théorème : doit être simplement connexe , ie connexe et sans trou .

[mehdibj]

Il te manque une hypothèse dans ton théorème : doit être simplement connexe , ie connexe et sans trou .

bon j'ai pris le théorème comme il est les notes du prof qui ne sont pas parfaites mais j'ai beau chercher sur internet je ne trouve aucune mention connexe mais par contre il doit être ouvert ce qui est le cas ,C \ est ouvert non ?

[Ben314]

Salut,

Il te manque une hypothèse dans ton théorème : doit être simplement connexe , ie connexe et sans trou .

C'est pas ça le problème : dans le théorème tel qu'il est énoncé, A est un "domaine limité avec bord" contenu dans Omega et peut parfaitement être non simplement connexe ni même connexe. (et évidement Omega peut aussi être non simplement connexe, ni connexe).

Par contre, dans l'exemple donné, on ne peut pas appliquer le théorème en prenant pour A le domaine dont le bord est le lacet gamma vu que ce domaine contient z0 et que la fonction z ->1/(z-zo) n'est holomorphe que sur Omege = C privé de zo (en bref, le problème, c'est que A n'est pas contenu dans Omega).
Par contre, on peut effectivement appliquer le théorème en prenant pour A le domaine de bord gamma auquel on enlève le disque de centre zo et de rayon r [suffisamment petit] qui, cette fois, est bien contenu dans Omega.
Et dans ce cas, le bord de A, c'est le lacet gamma plus le bord du disque (parcouru dans le sens inverse).

[mehdibj]

Salut,

Il te manque une hypothèse dans ton théorème : doit être simplement connexe , ie connexe et sans trou .

C'est pas ça le problème : dans le théorème tel qu'il est énoncé, A est un "domaine limité avec bord" contenu dans Omega et peut parfaitement être non simplement connexe ni même connexe. (et évidement Omega peut aussi être non simplement connexe, ni connexe).

Par contre, dans l'exemple donné, on ne peut pas appliquer le théorème en prenant pour A le domaine dont le bord est le lacet gamma vu que ce domaine contient z0 et que la fonction z ->1/(z-zo) n'est holomorphe que sur Omege = C privé de zo (en bref, le problème, c'est que A n'est pas contenu dans Omega).
Par contre, on peut effectivement appliquer le théorème en prenant pour A le domaine de bord gamma auquel on enlève le disque de centre zo et de rayon r [suffisamment petit] qui, cette fois, est bien contenu dans Omega.
Et dans ce cas, le bord de A, c'est le lacet gamma plus le bord du disque (parcouru dans le sens inverse).

ah ok d'accord je vois parfaitement merci infiniment .