Analyse Complexe: Rotation

[Lostounet]

Bonjour,

Je dois déterminer tous les automorphismes du disque D(0,1) qui laissent invariant le point 0.

Dans la partie qui précède, on m'a fait démontrer quelque chose: si f est holomorphe et f(0) = 0 et f stabilise D, alors f(z)/z est holomorphe et |f(z)|<= |z|

Après il y a un truc bizarre, c'est que si de plus il existe z0 non nul tel que |f(z0)| = |z0|, f(z) est une "rotation".


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Soit f un tel automorphisme, f(0) = 0
J'ai essayé "d'imiter" la partie d'avant en regardant le DST de la fonction f:
f(z) = 0 + f'(0)*z + f''(0)*z^2/2 + ...

Le truc c'est qu'on ne sait pas si f^(k)(0) est nulle. Donc si je note "k" le plus petit entier tel que f^(k)(0) =/0,
je peux construire une fonction holomorphe:
g(z) =
{ f(z)/z^k si z est non nul
{ f^(k)(0) *k! sinon

Après si je prends le module bah je sais pas trop quoi cela donne de nouveau...

Merci

[Doraki]

A mon avis tu devrais regarder très attentivement la preuve de "pour tout z de D, |f(z)| <= |z|" pour voir quand est-ce qu'il peut y avoir un cas d'égalité.

[Lostounet]

Je crois que l'inégalité est stricte si f(z)/z est non constante.

Si tu veux g(z) = f(z)/z qui vaut |g(z)| = 1 au bord et en plus pour tout z du disque... ben elle est constante
et il existe C telle que f(z) = z*C
avec C de module 1

Edit: non enfin.. elle peut pas être stricte car je passe à la limite dans une inégalité large dans ma preuve

Edit 2: Le cas d'existence du z0 est pas du tout clair dans la partie précédente

[Ben314]

Salut,
J'ai pas bien compris où réside la question...
Le lemme de Schwarz, tu l'a déjà démontré ou bien c'est lui qui te pose problème ?
Sinon, par "automorphisme", tu entend une bijection biholomorphe de D sur D ?
(perso., je réserve plutôt le terme d'automorphisme aux trucs purement algébrique, mais bon...)

[Lostounet]

Bonsoir Ben,

Oui j'ai démontré le lemme de Schwarz mais c'est après que ça se passe pas super bien car il faut étudier des bijections biholomorphes (c'est cela qu'on entend par automorphisme ici) de D.

1. Déterminer toutes les bijections biholomorphes de D qui fixent le point 0


(C'est pas exactement pareil que le lemme de Schwarz car... je ne vois pas de "z0" qui me permette de trouver une rotation

[Ben314]

1. Déterminer toutes les bijections biholomorphes de D qui fixent le point 0

Dans ce cas, ça serait peut-être pas stupide de songer à utiliser à un moment ou un autre la bijection réciproque de f (qui elle aussi fixe 0 et est holomorphe de D dans D donc...)

[Lostounet]

Hum je réfléchis... on a l'identité de Lostounet-Schwarz:

|f^(-1)(z) * f(z) | <= |z|^2 si je travaille avec f^(-1) ...

Donc si je pose g(z) = (f^(-1) * f /z^2), est constante de module 1, donc il existe C tel que

f^(-1)*f = C*z^2...

[Ben314]

Je trouve... que tu cherche bien compliqué...
Tant qu'à faire d'utiliser quelque part la bijection réciproque de f, ça serait pas con d'utiliser le fait que ce n'est pas une autre fonction quelconque ayant les même propriétés, mais que c'est... la bijection réciproque de f...
Là, dans ce que tu écrit, si à la place de ton f^(-1) on met n'importe quel autre fonction holomorphe g:D->D telle que g(0)=0, ça reste vrai tes trucs.

[Lostounet]

Car quand je cherche simple... je ne trouve pas

Donc... il y a de l'espoir avec ma méthode de départ? Je fais un développement en série de Taylor de f^(-1) ?
Ma méthode d'imitation de la preuve de Schwarz peut-elle porter ses fruits?

En fait ... si mon intuition est bonne, cela ressemble à tourner une assiette autour de son centre (donc aussi une rotation potentiellement)

[Ben314]

J'ai même pas regardé si ça risquait de mener à quoi que ce soit ton truc vu la trivialité de la solution...
Si tu prend z quelconque et que tu pose z'=f(z) alors z=f^{-1}(z') donc :
1) Le fait que f:D->D et que f(0)=0 prouve que |z'|<=|z| (grace au truc montré précedement)
2) Le fait que f^{-1}:D->D et que f^{-1}(0)=0 prouve que |z|<=|z'|

[Lostounet]

|z|=|z'| ssi il existe t réel tel que z = z' * exp(it) ...

[Ben314]

Par contre,
1) Peut tu me donner un exemple de fonction holomorphe f:D->D telle que f(0)=0 injective mais pas surjective ?
2) Peut tu me donner un exemple de fonction holomorphe f:D->D telle que f(0)=0 surjective mais pas injective ?
3) Peut tu me donner un exemple de fonction biholomorphe f:D->D telle que f(0) soit distinct de 0, voire même égal à un b de D fixé d'avance ? (plus délicat sans indications...)
4) Peut en déduire de quelle forme sont toutes les fonction biholomorphe f:D->D (sans nécessairement f(0)=0) ?

[Lostounet]

J'étais justement sur le point de continuer l'exercice.

Mais si ces questions peuvent m'aider à m'améliorer !
Est-ce que je peux dire pour la 2 par exemple, un truc du style: f(z) = z*exp(i*arg(z)) ... elle est holomorphe celle-là ? je pense pas

Pour la 1... je ne vois pas (encore)

Pour la 3) on pourra tricher et regarder la conclusion de mon exo... f(z) = (az + b)/(b'z + a')
Avec des complexes a et b vérifiant certains trucs.
Je continue à chercher

[Lostounet]

Par exemple comment f peut agir sur D?
Elle peut par exemple "échanger" des bouts du disque entre eux...

Ou bien "prendre un bout du disque" et le coller comme un chewing-gum sur un autre en laissant un trou dans le disque d'arrivée... c'est possible ces deux situations? J'ai peur qu'elle perde son holomorphie...

[Ben314]

Si tu as une "suite" à l'exercice, c'est quasi-forcément les question 3) et 4) ci dessus (éventuellement avec une/des indications pour la 3).

Concernant les questions 1) et 2), je te laisse réfléchir (c'est franchement pas dur, surtout la 1).
Mais concernant les fonction holomorphes, on ne peut jamais les "fabriquer" localement vu que, dés que tu connait une fonction définie sur un ouvert connexe sur un minuscule disque de cet ouvert, ça la détermine entièrement.

[Lostounet]

Bonjour !
Petite question technique

On me donne deux complexes, u et v tels que
On définit

On me demande de prouver que c'est un biholomorphisme de D avec comme indications mq:
* f holomorphe sur D, continue au bord
* f(D) dans D
*f(bord) dans (bord)
* expliciter la réciproque et mq f^(-1) holomorphe et continue

Voici ce que j'ai "écrit"
|u| >= 1 d'après la relation donc il existe un unique t dans R tel que ch(t) = |u|
Je pose sh(t) = |v| pour ce même t
J'ai ensuite dit 1/th(t) > 1 quel que soit t. Est-ce que cela suffit pour l'holomorphie de f sur D? (le dénominateur ne s'annulant pas dans D)

Je n'y arrive pas trop pour la continuité au bord... Je fais tendre |z| vers 1 et je regarde s'il y a une limite finie...?

[Ben314]

Je ne comprend (de nouveau...) pas ce que tu bricole avec tes sinus et cosinus hyperboliques et avec tes trucs de "limite finie au bord" : c'est pas une fonction pourrie que tu as sous les yeux, mais une bête fraction rationnelle (avec en plus des polynômes de degré 1...) dont le comportement est on ne peut plus "prévisible" :

Le numérateur et le dénominateur de ta fonction sont des polynômes donc sont holomorphe sur C tout entier ce qui signifie que ta fraction est holomorphe sur C privé des éventuels zéros du dénominateur.
- Si v=0, le dénominateur est constant (et non nul) donc f est holomorphe sur C tout entier.
- Si v est non nul, le dénominateur s'annule uniquement en donc est holomorphe sur et tout ce que tu as à montrer, c'est que (c'est à dire ) pour prouver que f est holomorphe sur D et continue sur l'adhérence de D.

A mon sens, le seul passage non trivial, c'est f(D)=D et f(bord)=bord, mais c'est un simple calcul qui ne demande pas d'imagination.

[Lostounet]

Salut Ben, je t'explique. J'ai calculé le module de ton z0, qui vaut |u/v| et j'ai montré que |u/v|>1 en utilisant le fait que si u et v vérifiant |u|^2 - |v|^2 = 1, alors |u/v | = 1/th(t) > 1

Pourquoi tu n'as pas aimé ?

Pour les histoires de bord, j'ai juste calculé |f(|z|)| avec |z| = 1 par exemple, ou bien une petite inégalité triangulaire avec |z|<1 pour f(D) dans D

[Doraki]

parceque tu n'as vraiment pas besoin de parler de tangente hyperbolique pour montrer que si a-b=1 alors a>b.

[Lostounet]

parceque tu n'as vraiment pas besoin de parler de tangente hyperbolique pour montrer que si a-b=1 alors a>b.

Oui