Analyse Complexe - Résidus à l'infini

[esperluette]

Bonjour à tous !

Je suis en train de faire un exercice dans un livre d'analyse complexe sur le résidu à l'infini, mais je ne comprends la correction pour la première question. Pourriez-vous m'aider ?

Voici l'énoncé :

Soient et où r est un réel strictement positif. Soit f holomorphe sur . On définit g holomorphe sur par

1) Soient . Pour |z|>R assez grand, on a des développements de Laurent :

Prouver que

Et voici la correction proposée :

Pour assez grand, soit le lacet
Alors :


Et c'est là que je bloque :
Je comprends bien que pour un rayon assez grand on arrivera à englober a et b dans le cercle , mais, pour (respectivement ), ne sommes nous pas censés intégrer f sur un cercle centré en a (respectivement en b) ?

Voilà, merci d'avance pour votre aide

[Ben314]

Salut,

... pour (respectivement ), ne sommes nous pas censés intégrer f sur un cercle centré en a (respectivement en b) ?

Non, absolument pas, tu peut intégrer sur n'importe quel lacet pourvu que l'indice de (respectivement ) soit égal à 1.
Ici, vu la convergence normale (donc uniforme) des séries sur le cercle de centre 0 et de rayon , tu as :

Et bien sûr, idem pour l'autre série.

[esperluette]

Ok, merci beaucoup !