Analyse complexe et détermination du logarithme

[fleurbleue]

Bonsoir

J'ai depuis quelques temps beaucoup de mal à comprendre une notion assez importante dans mon cours d'analyse complexe: la détermination du logarithme. En réalité la seule chose que j'ai compris c'est que puisque l'exponentielle est surjective sur C, alors on ne peut pas définir son inverse sur C\0 ( par exemple log (1)=0 ou log (1)=2ikpi ). Il faut alors se restreindre sur un ouvert . Mais ce que je n'ai pas compris c'est que notre prof nous a dit qu'il faut priver C d'une droite pour pouvoir définir le logarithme complexe et avoir une détermination continue, pourquoi?

J'espère que j'ai été claire dans mes propos et que vous puissiez me répondre à ma question et m'éclairer sur cette notion en générale. Je vous en serai infiniment reconnaissante.
Bonne soirée

[Ben314]

Salut,
Ben, non, c'est pas clair du tout, et y'a de forte chance que ce soit pour ça que tu capte rien.
Dans l'ordre :
- Déjà, la fonction Exp:C->C elle est pas surjective vu que le complexe 0 n'a pas d'antécédents.
- Ensuite, le fait qu'il y ait "un gros problème", ça provient absolument pas de la surjectivité de la fonction (vu de C dans C privé de 0), qui, au contraire, est plutôt une bonne chose.
Le problème, il provient de la non injectivité de la fonction : tout complexe non nul admet une infinité d'antécédents par la fonction Exp donc on a plusieurs possibilités concernant la bijection réciproque.
- Le fait de "se restreindre à un ouvert" n'est d'absolument aucune utilité vu que de toute façon C privé de 0 c'est déjà un ouvert.
- Si on enlève une droite, effectivement, ça marche, mais à condition que la droite passe par 0.
Sauf que c'est un peu con vu qu'en fait ce qu'il faut faire, c'est juste d'éviter de pouvoir faire le tour de 0 donc enlever une demi-droite d'origine 0, ça suffirait.

Sinon, pour en revenir à la question, l'exponentielle complexe on peut la définir par
Exp(x+i.y)=exp(x).(cos(y)+i.sin(y)) (avec un "E" pour l'exp. complexe et un "e" pour l'exp. réelle).
Donc si tu veut trouver un antécédent à un complexe non nul z donné, il suffit d'écrire z sous forme polaire z=rho.(cos(theta)+sin(theta)) avec rho>0 (vu que z est non nul) et theta dans R.
Un (et même les) antécédent(s) de z est alors ln(rho)+i.theta.
Concernant ln(rho), y'a aucune ambiguïté possible.
Par contre concernant theta, c'est la merde vu que c'est UN des arguments du complexe z et que des arguments, ben y'en a plusieurs. Évidement, tu peut décréter que tu va en choisir UN, par exemple celui que l'on appelle souvent "l'argument principal" qui est dans ]-Pi,Pi] (ouvert en -Pi et fermé en Pi) sauf que dans ce cas, la fonction "argument" définie sur C privé de 0 et à valeur dans ]-Pi,Pi], ben c'est clair qu'elle est pas continue vu qu'un réel négatif R a un argument égal à Pi alors que si on se déplace de rien du tout vers le bas (donc en prenant R-epsilon.i) ben on se retrouve aver un argument quasiment égal à -Pi.
Et c'est évidement pas la peine d'être bien futé pour comprendre que si on prenait autre chose comme argument, ben ça changerais rien au problème, ça ferait que le décaler : par exemple si on prend l'unique argument qui est dans [0,2Pi[, on a un problème de continuité au voisinage des réels positifs.
Donc la seule solution, c'est d'enlever une demi droite d'origine 0, par exemple les réels négatifs, et de prendre les arguments dans ]-Pi,Pi[ (ouvert des deux cotés) : y'a évidement plus de problème de continuité avec les réels négatifs vu que... on les a enlevé de l'ensemble de définition.
Evidement, on peut enlever n'importe quelle demi droite, par exemple celle dirigée par 1+i et dans ce cas, on prend par exemple l'unique argument qui est dans ]Pi/4;9Pi/4[ (ou bien l'unique qui est dans ]-7Pi/4;Pi/4[)

[mathelot]

bsr,
le logarithme complexe est

on a la notion d'ouvert de simplement connexe;
un ouvert simplement connexe est un ouvert du plan où tout lacet
est homotope à un point.
On montre alors que l'intégrale d'une forme différentielle le long d'un chemin
ne dépend que des points de départ et d'arrivée.
un cas particulier d'ouvert simplement connexe est celui d'ouvert étoilé.
Le plan complexe privé de la demi droite des réels négatifs ou nuls est étoilé par rapport
au point .
On peut donc y définir un argument

où est n'importe lequel chemin de d'affixe 1 au point M d'affixe z.