Analyse combinatoire [Résolu]

[MathieuP]

Bonjour,

Je suis nouveau sur le forum et j'ai un problème d'analyse combinatoire pour lequel j'aurais besoin d'aide. Étant québécois, je ne sais pas à quel niveau ce genre de matière est enseigné en France, mais c'est enseigné aux étudiants de première année en actuariat au Québec, alors j'imagine que ça correspond à "Supérieur". :id:

Voici le problème : "If 8 new teachers are to be divided among 4 schools, how many divisions are possible ? What if each school must receive 2 teachers ?" (Si 8 nouveaux enseignants doivent être divisés entre 4 écoles, combien de divisions sont possibles ? Et si chaque école doit recevoir 2 enseignants ?)

Ensuite, voici le travail que j'ai effectué jusqu'à présent :

- Pour la deuxième partie du problème, la solution correspond à (8 nCr 2) * (6 nCr 2) * (4 nCr 2) * (2 nCr 2), raisonnement que je ne peux pas vraiment appliquer à le première partie puisque r peut varier.
- Les enseignants sont distincts. Ainsi, il y a 8 divisions de la forme 7-1-0-0 possibles, puisque les 8 enseignants peuvent enseigner dans la seconde école.
- Néanmoins, l'ordre n'a pas d'importance au sein d'une même école (A et B est la même sélection que B et A).
- Ensuite, si 7 enseignants enseignent dans une école et 1 dans une autre, il y a 8! / (2! * 1! * 1) façons de les répartir (il s'agit d'une partition). Le raisonnement tient encore devient plus compliqué lorsque, par exemple 6 enseignants se trouvent dans une même école, puisqu'on peut alors attribuer les 2 enseignants restants à une école ou encore à des écoles séparées.
- Si on considère les 8 enseignants comme les éléments d'un ensemble, il y a 2^8 sous-ensembles possibles.
- Finalement, la réponse est 65536, soit 2^16, résultat pour le moins suspect en tenant compte de la remarque précédente ...

J'attends vos suggestions !

Merci,

Mathieu

[Sa Majesté]

Salut Mathieu et bienvenue sur ce forum ! :zen:

Ta façon de procéder me semble un peu compliquée

Pour le 1er professeur, il y a 4 choix possibles d'école
Pour le 2ème professeur, il y a 4 choix possibles d'école
etc
Pour le 8ème professeur, il y a 4 choix possibles d'école

Il y a donc 4^8 = 65536 possibilités (en considérant qu'on peut bien avoir une ou plusieurs écoles sans professeur)

[MathieuP]

Eh bien, il faut croire que mon approche était biaisée dès le départ ...

Merci infiniment pour la réponse rapide ! :++: