Ambiguité sur la dimension

[Nicolas59]

Bonjour

En algèbre linéaire, lorsqu'on résout un système associé à une matrice, une application linéaire , une famille de vecteur, je me perds pour le calcul de la dimension du résultat.

Dim E= n - r
avec n le nombre de vecteurs et r le rang, et le rang c'est le nombre de pivot de gauss non nuls.

Mais on dit aussi que la dimension est égal au nombre de pivot non nuls...
Alors dès fois ça concorde , d'autres fois non...

[Doraki]

Est-ce que tu as vu un théorème disant que si f est une application linéaire de E dans F alors dim E = dim Ker f + dim Im f ?

[Nicolas59]

Tout à fait.

Je parle de l'approche sur les espaces vectoriels sans les applications linéaires.

Mon prof a fait quelques exemples de systemes pour rechercher la dimension d'une base d'espaces vectoriels. Et ils disaient que c'était le nb de pivots non nuls.
Mais dans beaucoup d'exemples, le nombre de vecteurs dans une base se comptaient à partir du nombre de paramètres dans le système.

Ca serait que pour le noyau ou les systèmes homogènes associés que la formule
Dim S = N-R ?

[alavacommejetepousse]

Bonjour

En algèbre linéaire, lorsqu'on résout un système associé à une matrice, une application linéaire , une famille de vecteur, je me perds pour le calcul de la dimension du résultat.

Dim E= n - r
avec n le nombre de vecteurs et r le rang, et le rang c'est le nombre de pivot de gauss non nuls.

Mais on dit aussi que la dimension est égal au nombre de pivot non nuls...
Alors dès fois ça concorde , d'autres fois non...

bonjour ton problème c'est que tu confonds les espaces dont tu cherches la dimension

je résume avec les lettres usuelles

E un espace de dimension n fixé

U une famille de vecteurs de cardinal p (donc p vecteurs)

F = le sev engendré par U

A la matrice des coordonnées de U ds une base de E donc A comporte p colonnes n lignes

on a
dim F = rg A= dim Im A = r = nbre de pivots (non nuls sinon pas pivot!!)


maintenant si on résoud le système AX = 0 l'ensemble des sols est un sev noté S on a

S = ker A et d'après ce que t'as rappelé doraki

dim S = p -r

[Nicolas59]

Pour illustrer mon pb, voici un exemple:

Soit un SEV de R^3 défini par:

x+2y=0

Il est clair que le nombre de pivots non nuls est 1.
Mais moi j'ai ça:

x=-2y
y=t1
z=t2

t1 et t2 deux paramètres.
D'où si t1=1 et t2= 0 et si t1=0 et t2=1 on a Vect< (-2,1,0) , (0,0,1)> donc une base de dim 2.

[ffpower]

Ca correspond à ta formule dim=n-r où :
-n=3 est la dimension de l'espace (ici=R^3) ou encore est le nombre de variables dans ton système ( on compte evidemment ici aussi la variable z même si elle n'apparait pas dans l'équation )
-r=1 est comme tu dis le nb de pivots non nuls