Alignement de 3 points

[Anonyme]

Salut tout le monde.
Je souhaiterais votre aide pour résoudre ce problème :


Soit C un cercle. Les points E ,F et G sont distincts appartenant à C. FG=4 et l'arc formé par F et G qui ne contient pas le point E est noté a=10.
Soit D un point du plan qui n'appartient pas au cercle C . Soit C' le cercle circonscrit au triangle EDG.
On pose DG= 8 et l'arc formé par D et G qui ne contient pas le point E est noté b=10.
Montrer que les points F , E et D ne sont pas alignés.

Et merci d'avance.
En espérant réussir de me faire comprendre...Omar

[mathelot]

Bonjour Omar ,

voici quelques indications qui permettront d'avancer:

- une longueur d' arc de cercle est la mesure de l'angle
au centre, en unité radian (longueur du rayon)



ensuite, étudier cosinus et sinus de l'angle de vecteurs

(avec Chasles) de manière à montrer que l'angle ne peut pas être plat.

[mathelot]

.......................

[mathelot]

soit O le centre du cercle (EFG) et R son rayon




aire du triangle FOG

lignes trigonométriques de l'angle FOG




cette équation en R ne semble pas avoir de solutions...
Wolfram peine à la résoudre.
Passons à l'angle inscrit:

cette équation là n'a pas de solution (l'arc FG est trop grand relativement
à la corde FG)

[Anonyme]

Bonjour mathelot,
cette équation là n'a pas de solution (l'arc FG est trop grand relativement
à la corde FG)
Merci bien pour votre essai en fin de m'aider . mais je dois rectifier quelque chose:
La valeur de la longueur de la corde par rapport à celle de l'arc ne fait pas un problème du tout quel que soit la valeur de la longueur de la corde, il existe bien une valeur pour l'arc à codition que la longueur de la corde soit toujours inférieure à celle de l'arc. Et cette condition est bien évidente. Ou est donc le problème?

En espérant réussir de me faire comprendre. Avec tant du respet et remerciement ...Omar

[mathelot]

.....................

[mathelot]

re-bonjour,

je démontre que la figure avec la corde FG=4
et l'arc capable a=10 est impossible

Soit C , cercle de centre O. On suppose,sans perdre de généralité,
un segment [FG] avec F à gauche et G à droite, un cercle C.

Tous les angles sont des angles de vecteurs modulo

on pose
Soit E' un point de C sur l'arc FG , ne contenant pas le point E.


l'angle au centre est le double de l'angle inscrit


dans le triangle FOG

d'où


le demi-périmètre du triangle FOG vaut
R+2
l'aire S de FOG (formule de Héron) vaut

le sinus est donné par la formule

soit






Par ailleurs, un calcul en radians d'angles au centre donne:

soit


d'où

mais l'équation

n'a pas de solution réelle.

sauf erreur, la construction est impossible.

d'où vient cet exercice ?

[mathelot]

re-re-bonjour,

ici

Finalement , mes calculs sont justes, ils ont été validés
sur les-mathématiques.net mais, pour une raison ,
wolfram ne me renvoie pas de solution à l'équation du rayon.

c'est arrangé !
Le rayon R du cercle C vaut environ 2,353.

finalement, on peut calculer les longueurs des deux rayons avec
la précision voulue et aussi la mesure de chaque angle.

donc déterminer si ces points F,E,D sont alignés ou non.

[Anonyme]

Bonjour Mathelot.

Je n'ai pas compris comment avez-vous déduit cela . En plus je peux voux rassurer. L'énoncé de ce problème est correct, ainsi, j'ai trouvé comment résoudre ce problème:
Premièrement, on pose [EF,EG]=x et [EG,ED]= y
Puis on démarre:
On a sinc x = FG/a = 4/10 = 0.4
sinc y = DG/b = 8/10 = 0.8
or les angles x et y appartiennent à l'intervalle ]0;pi[ et sinc x = sinx/x
sinc y = siny/y

D'ou ,si x+y = pi donc : sinx/sincx + siny/sincy = pi
Or on supposant que x+y =pi , ona : sinx = siny
Alors : sinx*( 1/sincx + 1/sincy) = pi
sinx = pi / ( 1/sincx + 1/sincy)
sinx = pi/(1/0.4 + 1/0.8)
sinx = 0.8377758...
On ce moment, on doit montrer que 0.8377758.. est différent de sinx pour montrer que la somme des angles est différente de pi.
On a sincx = 0.4 or x et y appartiennent à l'intervalle ]0;pi[
D'ou la fonction sinus cardinal (sinc x) est décroissante.
Ainsi; on a sinc 3*pi/4 < sinc x < sinc 2*pi/3
sig 2*pi/3 < x < 3*pi/4(1
sin x = 0.8377758... sig x = sinx / sincx
sig x = pi/[(1/0.4 + 1/0.8)*0.4]
sig x = 2*pi/3 (2
Il y en a une contraduction entre 1 et 2 ; d'ou x+y est différent de pi , d'ou
[EF,EG] + [EG,ED] est différent de pi . Alors les ponts F, E et D ne sont pas alignés.
Conclusion : Les points F, E et D ne sont pas alignés.
En espérant réussir de me faire comprendre...Omar