Algorithme de Metropolis et Chaine de Markov

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Anonyme

Algorithme de Metropolis et Chaine de Markov

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:34

Bonjour,
J'ai déjà posté sur fr.sci.math, mais je crois que ce ng est plus adapté.
j'ai un problème pour démontrer une question d'un devoir... je sollicite
votre aide à ce sujet, une piste ou même une idée serait déjà *très bien*.
Soit pi={pi(x), x appartenant a M} une proba sur M. L'algo de metropolis
produit a partir de pi, une chaine de markov reversible par rapport a
pi. P matrice de transition sur M, irréductible et P(x,y)>0 <=> P(y,x)>0

Soit h:]0,inf[->]0,1], h(u)=uh(1/u)
pour x<>y, on pose : R(x,y) = h(pi(y)P(y,x) / pi(x)P(x,y)) si
pi(x)pi(y)P*y,x) <>0, 0 sinon.
On construit une proba de transition Q définie par : Q(x,y) =
P(x,y)R(x,y) si x<>y et Q(x,x)= 1- Somme{pour y<>y}Q(x,y)

Dans la première question, il faut montrer que Q est une matrice de
transition bien définie et que pi est reversible pour Q, c'est fait.

Mais la je bloque... Soit M'={x appartenant a M; pi(x)>0} le support de
pi. Mq {Q(x,y);x,y appartenant a M'} est une matrice de transition
irreductbile sur M'.
Pour construire Q : on choisi de faire la transition de x a y avec la
matrice P(x,y), on accepte cette transition avec probabilité R(x,y) et
on la refuse avec proba 1-R(x,y).
Donc on a l'algo suivant pour simuler la chaine de markove (X_n)_n>=0
avec matrice de transition Q:
- etape 0 : init X_0
- etape n+1 : choisir y avec la loi Q(X_n, y). Tirer un nombre U au
hasard dans [0,1] avec distribution uniforme. Si Uselection : X_n+1 = y, sinon la refuser : X_n+1=X_n

J'avoue ne pas trop comprendre comment faire pour demontrer cette question.
Merci a tous ceux qui m'aiguilleront.
Cordialement,
--
Pascal



Anonyme

Re: Algorithme de Metropolis et Chaine de Markov

par Anonyme » 30 Avr 2005, 18:35

Pascal wrote:
> Bonjour,
> J'ai déjà posté sur fr.sci.math, mais je crois que ce ng est plus adapté.
> j'ai un problème pour démontrer une question d'un devoir... je sollicite
> votre aide à ce sujet, une piste ou même une idée serait déjà *très bien*.
> Soit pi={pi(x), x appartenant a M} une proba sur M. L'algo de metropolis
> produit a partir de pi, une chaine de markov reversible par rapport a
> pi. P matrice de transition sur M, irréductible et P(x,y)>0 P(y,x)>0
>
> Soit h:]0,inf[->]0,1], h(u)=uh(1/u)
> pour xy, on pose : R(x,y) = h(pi(y)P(y,x) / pi(x)P(x,y)) si
> pi(x)pi(y)P*y,x) 0, 0 sinon.
> On construit une proba de transition Q définie par : Q(x,y) =
> P(x,y)R(x,y) si xy et Q(x,x)= 1- Somme{pour yy}Q(x,y)


[..]


> Mais la je bloque... Soit M'={x appartenant a M; pi(x)>0} le support de
> pi. Mq {Q(x,y);x,y appartenant a M'} est une matrice de transition
> irreductbile sur M'.


Snif mon problème ne rencontre pas trop de succès apparament. En fait il
s'agit "seulement" de montrer qu'il existe n tq Q^n(x,y)>0. Or pour le
cas ou x y, on a Q^n(x,y)=(P(x,y)R(x,y))^n, comme Q et P sont des
matrices... et P^n(x,y) > 0 comme P est irréductible. Mais il faut en
fait que je trouve une majoration de Q^n(x,y), et la j'y arrive pas...
--
Pascal

 

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