Algebre vecteur propre

[ftrfy]

Bonsoir, je suis en prépa ECE.
J'ai un exo d'algebre et j'ai besoin d'aide si possible

On me donne 2 matrices
A =

et B =

Je devais trouver les valeurs propres de A puis je devais trouver P et D pour construire A= PDP^-1

Normalement c'est bon
mais je dois ensuite 1) montrer que tout vecteur propre de A est vecteur propre de B
et 2) trouver un vecteur propre de B qui ne sait pas vecteur propre de A


Comment faire ??

[chan79]

salut
Tu as quoi comme vecteurs propres pour A ?

[Carpate]

1) montrer que tout vecteur propre de A est vecteur propre de B

C'est mal parti :
Vecteurs propres de A :
(1 ; 2; 4), (1 ; -1 ; 1), (1 ; 1 ; 1)
Vecteurs propres de B :
(1 ; 2 ; 4), (1 ; 0 ; 1), (0 ; 1 ; 0)
A et B n'ont aucune valeur propre commune
Remarque sans beaucoup d'intérêt :
Les 2 derniers vecteurs propres de B sont des combinaisons linaires des 2 derniers vecteurs propres de A

[pascal16]

Vecteurs propres de A : (1 ; 2; 4), (1 ; -1 ; 1), (1 ; 1 ; 1)
Là, oui, car avec 3 vap différentes, on a une unicité à une constante près des vecteurs propres.

Vecteurs propres de B :
(1 ; 2; 4), (1 ; -1 ; 1), (1 ; 1 ; 1) sont vecteurs propres de B (suffit de vérifier comme Chan le propose)
(1 ; 2 ; 4), (1 ; 0 ; 1), (0 ; 1 ; 0) sont des vecteurs propres de B
3 est vap double, elle engendre un ssev de dimension 2, donc avec non unicité des vep à une constante près. La remarque sans intérêt est en fait la clef de la question 2 tordue.
Les combinaisons linéaires non identiquement nulles des vecteurs propres lié à la même valeur propre sont encore des vecteurs propre.

[Carpate]

J'avais le nez dessus et je ne l'ai pas vu !

[ftrfy]

Bonsoir! merci de vos réponses
Pour A je trouve 3 valeurs propres -1 , 1 et 2
je trouve pour E(-1) : (-1,1,-1)
Pour E(1) je trouve : ( 2,1,1)
pour E(2) : je trouve ( 2,1,-1/2) : j'ai multiplié par 2 , (il me semble que c'est possible non?)
j'obtiens donc ( 4,2,-1)


Ensuite pour B je trouve 3 valeurs propres :
-5,3 et 5
sauf qu'il y'a un problème

avec -5 et 5 j'obtiens : (0,0,0) donc c'est impossible j'ai faux
et pour 3 j'ai dans le système 2 inconnus x et z donc j'obtiens x=z mais pour le réécrire, je fais comment car je n'ai pas de y ?
j'ai 0y=0 donc on le compte pas dans le système, mais comment le réécrire
On a E(3) (1,1,1)??

j'ai faux pour les valeurs propres de B?

[pascal16]

B, c'est 3 ,3 et -3 les valeurs propres.
determinant(B)=-27, le produit des valeurs propres est -27

[ftrfy]

je recalcule ça alors!!
par contre En ECE on ne voit pas le" dét "

[ftrfy]

j'obtiens:
pour A : ( (-1,1,-1) , ( 2,1,1) , ( 1,1,1/2) )
Pour B : ( ( 4,2,1), ( 1,0,1) , ( 0,1,0) )

Comment montrer que tout vecteur propre de A est vecteur propre de B ?
je dois trouver des combinaisons linéaires? Mais ça ne marche pas??

et l'autre question aussi 2) trouver un vecteur propre de B qui ne soit pas vecteur propre de A

[Carpate]

Donné par mon esclave numérique :
Vecteurs propres de A :




Vecteurs propres de B :
-pour val. p. = -3

- pour val.p = 3










v;p; de B et de A
etc ...

[ftrfy]

donc mes vecteurs propres de A sont faux ...
je recalcule

[Carpate]

Il n'est pas interdit de contrôler soi-même ses résultats :
http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?sess ... register=1

[ftrfy]

Je n’arrive pas pour le système avec 2 comme valeur propre

J obtiens
-2x+1y=o
0x-2y+z=0
-2x+1y=0

Donc y=2x
Y=1/2z

Donc ( 2,1,1/2)
Je n’obtiens pas le bon sous espace propre
Où est ma faute ?

[Carpate]

: sous-espace vectoriel associé à la valeur propre 2 de A :
Soit

[ftrfy]

merci beaucoup, une dernière question : Le site qui permet d'obtenir les valeurs propres et sous espaces propres associés, Il écrit le sous espace propre en fonction de x mais on peut l'écrire en fonction de z ou y ?? je veux dire par là qu'ils ne donnent qu'une possibilité??

on est pas obliger de tomber sur les mêmes résultats?
si je mets en fonction de y par exemple, pour m'assurer que ce que je trouve est juste, je dois montrer qu'il est proportionnel avec x ?

merci de votre aide!

[Carpate]

La matrice B a pour polynôme caractéristique
L e S.E.P associé à la valeur propre -3 est donc de dimension 1 ce qui signifie que vecteur propre correspondant est unique (à une constante multiplicative prés)
si on exprime ce vecteur :
- en fonction de x,
- en fonction de y,
- en fonction de z,
C'est bien la même droite vectorielle

[ftrfy]

parfait ! merci beaucoup