Algèbre, toujours et encore !

[Elvis]

Bonsoir à vous tous !

Encore une petit problème, j'espère bientôt solutionné ...

Voici l'énoncé :
"On considère l'espace euclidien de diemension 3, un tétraèdre régulier ABCD. Montrer que toute isométrie qui préserve ce tétraèdre préserve l'ensemble de ses sommets."

Est-ce que je dois considérer un par un, les différents cas : isométries qui laissent 3 sommets fixes, isométries qui en laissent 2 fixes et en échangent 2 ...

Merci d'avance.

[yos]

Est-ce que je dois considérer un par un, les différents cas : isométries qui laissent 3 sommets fixes, isométries qui en laissent 2 fixes et en échangent 2 ...

Bonsoir.
Non pas besoin. Ce qu'on appelle tétraèdre est à préciser : les faces + l'intérieur? Les faces? Les arètes?
Prenons la dernière.
Une isométrie f transforme un segment en un segment donc f(A) appartient à f([AB]) et à f([AC]), donc...

[Elvis]

... donc f(A) est l'intersection des 2 segments => f(A) est donc le sommet issu de f([AB]) et f([AC]). CQFD ...


Autre petite question, vue que vous avez l'air en jambe ...

Qand il faut démontrer qu'il existe un morphisme Phi de G (=ensemble des isométries préservant le tétraèdre) dans S4 (permutations des points A,B,C,D), a-t-on constamment :

Phi(g)(M) = g(M)

avec g app. à G et M un des sommets ??

[yos]

C'est ainsi qu'on doit définir phi je pense.

[Elvis]

Ben le soucis c'est que Phi n'est pas définie. Mais je dois montrer que G est muni d'un morphisme vers S4. Or, sans expression de Phi, je ne vois pas comment y arriver.

J'avais fait le raisonnement suivant :

Phi(g)(M) = M' avec M' un somment du tétra.
puisque Phi(g) app. à S4, et envoit donc M sur un autre sommet.

Par ailleurs, g(M) = M' puisque g préserve les sommets.

Mais je me suis rendu compte que les 2 points que j'ai appelé M' ne sont pas forcément identiques ...

[yos]

J'ai pas été clair.
C'est ainsi que tu dois définir phi je pense.

[Elvis]

Mais y-a-t-il une manière de la prouver, ou c'est intuitif ??

[yos]

Tu exhibes l'objet et tu prouves qu'il vérifie ce qu'il faut. Il suffit de l'écrire.

[Elvis]

Vu comme ça, je comprends bien.
Merci beaucoup du coup de mains et bonne soirée.

[yos]

De rien. Bonne nuit.