Algebre, toujours des exos problematiques..

[Yozamu]

Bonjour, je reposte ici pour quelques questions sur mes exos d'algebre, parce que je n'y arrive toujours pas...

pour l'instant, j'arrive a faire, je pense, les deux premieres questions de l'exo 1, mais pas le reste...

Exo1:
Soit l'application f(de R dans R) x->(x+2)²-3
1) Donner la représentation graphique de f et justifier que f n'est ni injective ni surjective
(a priori je connais les deux définitions meme si je ne sais pas comment les utiliser ici... Injective=1 antécédent au maximum et surjective=au moins 1 antécédent je crois?)
2)A partir de la représentation graphique, décrire les ensembles suivants (c'est là surtout que je vois vraiment pas ce qui est attendu):
f([-1,0]) f(]-3,0]) f^-1({1]) f^-1({-4}) f^-1([-2,0[)
(pour cette question, j'aimerais bien l'aide sur un intervalle et sur un singleton, ensuite je suppose que pour les autres la meme methode sera attendu, donc je pourrai essayer)
3) Définir deux parties A et B de R, aussi grandes que possibles(au sens de l'inclusion) afin que l'application f|A: A->B soit bijective (dans le f|A, |A est en indice, je sais meme pas ce que c'est)

Exo2:
Soit une application f:E->F où E={1,2,3} et F={a,b,c}
1) Définir f de telle sorte que f(f^-1(B))=/B (différent de)
2) Définir et représneter graphiquement g de telle sorte que f^-1(f({1,2}))=/{1,2}

Exo3:
Soit une application f:E->F et B, une partie de F. Montrer que f(f^-1(B))=f(E)nB (inter)

Merci d'avance

[homeya]

Rebonjour,

Pour la troisième question de l’exercice 1, | veut dire "restreint à". Ainsi, en regardant le graphe de la fonction, ou mieux en considérant le tableau de variations (lovemaths.fr le dessine), on voit que f|[-2 ;+ ] : [-2 ;+ ] -> [-3;+ ] est bijective. Es-tu d’accord ?

Cordialement.

[Yozamu]

Je ne comprends pas vraiment la notion de restreint à ?
Si c'est "restreint à", alors qu'est-ce qui est "exclu", je veux dire hors de la restriction?

Après, je suis d'accord pour dire que f: [-2;+inf[ -> [-3;+inf[ est bijective puisque sur cet intervalle f est strictement croissante non? (par ailleurs, le +inf est exclu non? Il me semble que oui, mais on sait jamais, mieux vaut demander)
Du coup, si j'admets que f est bijective dans cet intervalle sans utiliser le |A, je me demande d'autant plus quelle est son utilité?

[homeya]

Oui, ta compréhension d’une restriction est correcte. On peut restreindre une fonction (et ainsi en définir une nouvelle) ou alors restreindre l’ensemble d’étude d’une fonction. Mais ce sont les fonctions elles-mêmes qui définies comme bijectives et non les fonctions étudiées sur une partie de leur ensemble de définition. La différence est un peu subtile. Mes explications ne sont-elles pas trop tarabiscotées ?

Sinon, f|[-2;+inf[ est effectivement strictement croissante et par conséquent bijective (j’avais mis le second crochet à l’envers).

Pour l’exercice 2, j’imagine que B est une partie de F ?

[Yozamu]

D'accord merci pour la réponse, je pense avoir compris!

Eh bien pour l'exercice 2, aucune info n'est donnée sur B !
B est cependant surement une partie de F, du moins je comptais partir dans cet optique, mais je n'arrive tout de meme pas à démarrer la rédaction

[homeya]

Pour l’exercice 2, "f(f^-1(B))=/B" est plus ou moins lié à la définition de la bijectivité. On peut donc tenter de définir une fonction non bijective, par exemple : f(1) = a, f(2) = a, f(3) = a puis choisir B tel que B = {b,c}.
Avec ces définitions : f(f^-1(B)) = f(f^-1({b,c}) = f( ) = B.
Qu’en penses-tu ?

[Yozamu]

Je suis tout à fait d'accord, c'est exactement ce que je comptais faire, sauf que je ne savais pas vraiment quelle réponse suffisait, s'il fallait se contenter de dire qu'elle ne devrait pas etre bijective, etc...

Merci

[homeya]

Très bien ! A ce propos, on peut remarquer un lien avec l’exercice 3. Mais en attendant d’aborder celui-ci, aurais-tu une idée d’application satisfaisant à la question 2) ?