Algébre!

[vrouvrou]

Bonsoir, j'ai un petit exercice qui dit :
1) Existe-t-il des nombres naturels a,b tel que a n'est pas égale a b et (1/a)+(1/b)=1
la réponse est non !
2) Même question (1/a)+(1/b)+(1/c)=1
Il y a une solution a=2,b=3,c=6
3) Pour (1/a)+(1/b)+(1/c)+(1/d)=1
je trouve 6 solutions avec la condition ( 144 possibilité sans la condition)
Là où je bloque c'est comment généraliser ? Si on a comment faire pour trouver les ? y a t il une suite ou un algorithme?
Merci

[vrouvrou]

une idée s'il vous plait? :hein:

[Dinozzo13]

Salut !

Pour la 1°), tu peux montrer, qu'en posant et , il n'existe aucun points sur la courbe représentative de la fonction , dont les coordonnées sont des entiers naturels :

(etudie les variations de la fonction f qui est une fonction homographique et déduis-en que seul le point à coordonnées dans IN* est (2,2), conclus).

[vrouvrou]

personne n'a déjà vue cet exercice? :hein: :mur:

[benou0702]

Bonjours vrouvrou

Je pense pouvoir te répondre
On peut passer d' une équation avec une somme de n termes 1/an a une somme de n+1 termes en transformant un inverse en une somme de deux autres inverses

Exemple:
1/a+1/b+...=1
on substitue 1/b par 1/a2+1/a3
il faut donc prouver que pour tout "b" il existe "a2" et "a3" avec: 1/b=1/a2+1/a3
soit: 1/b=(a3+a2)/(a2*a3)
<=>b(a3+a2)=a2*a3 (1)

on veut seulement prouver qu' il existe "a2" et "a3" donc on pourrait poser un relation entre "b" et "a2"
par exemple a2=b+1
donc a2 et b sont premiers entres eux
d' après (1) a2 divise b(a3+a2)
d' après le théorème de Gauss a2 divise a3+a2
donc a2 divise a3


de même b divise a2*a3
toujours d' après Gauss b divise a3

donc il existe un k avec a3=k*b*a2

on va calculer k:
1/a2+1/a3=1/b
<=>1/a2+1/(k*a2*b)=1/b
<=>(kb+1)/(k*b*a2)=1/b
<=>(kb+1)/(k*a2)=1
<=>k=1/(a2-b)
comme a2=b+1
k=1

en résumé:
il existe bien a2 et a3 avec:
a2=b+1
a3=b*(b+1)

les cas où a2=a3 sont a exclure
a2=a3
<=>b+1=b*(b+1) (et b entier naturel)
<=>b=1
d' où l' impossibilité de 1/a+1/b=1 (1/b=> 1/a+1/b avec a=b)
mais des solutions pour un nombre de termes supérieur à 2 en appliquant la méthode avec a3 au lieu de b et ainsi de suite.

j' espère avoir répondu à ta question
bonne chance :happy2: