Algèbre première année.

[Kimou]

ENONCE:
On note l'espace vectoriel des polynômes de dégré inféreiur ou égal à 3 et on considère l'application:


où désigne le polynôme dérivé de

(a) Démontrer que A est une application linéaire
(b) Donner des bases de l'image et du noyau de A => Quelles sont les étapes à suivre avec uen matrice no pb mais là, je ne comprends pas.
(c) Démontrer que :
(d)Trouver une base de telle que la matrice de A dans celle-ci soit de la forme:

(e) Expliciter la matrice de A dans la base


Voila c'est mon sujet d'exam et je n'ai absolument rien compris...
trouve-t-on une matrice comme ceci:
?

S'agit il d'un projecteur parallèlement à la droite engendré par ker (A) et sur l'epace engendré par Im(A)? Ou pas du tout ?

D'avance MERCI !

[Ericovitchi]

Linéaire ?, regardes ce que donne l'image de aP+bQ et regarde si ç'est bien af(P)+bf(Q)

Le noyau c'est l'ensemble des P qui vérifient f(P)=0
résous l'équation différentielle et montre que ce sous espace est généré par un unique vecteur

[Kimou]

oui tout ca j'ai fait mais c'est surtout par rapport aux question que j'ai posés en dessous. Merci Sinon oui j'avais pas remarqué l'equa diff.

[Ericovitchi]

Quelle base as tu pris ? (il faut y mettre le vecteur X+1 car c'est lui qui génère le noyau et donc la ligne de zéros, mais après la matrice que tu trouves va dépendre des autres vecteurs que tu as choisis)

[Nightmare]

la droite engendrée par Ker (A) et sur l'espace engendré par Im(A)

Ceci, à priori, n'a aucun sens... Relire ton cours sur les bases d'algèbre linéaire me semble être une première bonne étape.

[Kimou]

Ceci, à priori, n'a aucun sens... Relire ton cours sur les bases d'algèbre linéaire me semble être une première bonne étape.

Merci pour ton aide.. précieuse

Comme j'ai dit je n'ai aucun problème quand il s'agit de matrice avec une base de R3 par exemple mais là avec les polynôme et la dérivée qui intervient je ne comprends pas. Tout d'abord trouver une base de Im(A) et ker(A)...? il faut résoudre pour ker léqua diff (x+1)P'(x)-p(x) = 0 ok et pour l'im? quand il s'agit pas d'une forme en equa diff comment faire?
merci

[petittaupin]

Mon intuition me dit que la base de Im(A) est (1,(X+1),X(X+1),X²(X+1)) maintenant je ne saurais te donner une explication précise , donc ne me demande pas pourquoi :hein: ....

[Ericovitchi]

tu peux toujours prendre un vecteur quelconque ax^3+bx^2+cx+d et regarder son transformé. Tu en déduiras la matrice dans la base 1,X,X²,X^3


En trouvant les vecteurs propres (1,3,3,1) ; (0,0,0,1) ; (0,1,2,1) ; (0,0,1,1)
tu retrouves les polynômes qui font la base 1 ; X+1 ; X²+2X+1 ; X^3+3X²+3X+1

donc en fait 1 ; X+1 ; (X+1)² ; (X+1)^3

Je te laisse trouver la forme de la matrice dans cette base (c'est ta question d))
Il faut aussi que tu montres que tout vecteur est atteint

EDIT : c'était presque ça PetitTaupin, ton résultat ressemble
mais attention la base de Im A n'a que 3 vecteurs car le noyau a déjà une dimension 1 (générée par X+1)

[Doraki]

Comme j'ai dit je n'ai aucun problème quand il s'agit de matrice avec une base de R3 par exemple

Peut-être que R3[X] est un espace vectoriel de dimension finie.
Si oui, et si tu en connais une base quelconque, tu peux calculer la matrice de A dans cette base, et puis tout oublier et travailler avec cette matrice pour le reste de l'exercice.

[Kimou]

Peut-être que R3[X] est un espace vectoriel de dimension finie.
Si oui, et si tu en connais une base quelconque, tu peux calculer la matrice de A dans cette base, et puis tout oublier et travailler avec cette matrice pour le reste de l'exercice.

Oui je connais la base canonique de R3[X] qui est (1,X,X²,X^3) n'est ce pas?

[petittaupin]

Ericovitchi , effectivement ma base ne peut avoir que 3 vecteurs , mais la tienne aussi en a 4 :hein: . Et je me permet de poser aussi une question . En fait les vecteurs de ta base sont une combinaison linéaire des miens :
- Ton 3e c'est mon 3e+2e
-Ton dernier c'est mon dernier +3e+2e ..

Du coup moi aussi je suis perdu ... si tu pouvais apporter une réponse :we:

[Doraki]

Oui je connais la base canonique de R3[X] qui est (1,X,X²,X^3) n'est ce pas?

Oui donc qu'est-ce qui t'empêche de calculer la matrice de A dans cette base, si tu es plus à l'aise avec les matrices pour trouver des noyaux et des images ?

[Ericovitchi]

La mienne en a 4 car c'est une base de tout l'espace et pas seulement de l'image.
(X+1 génère le noyau et les 3 autres l'image)

Sinon, évidemment, tout vecteur est toujours une combinaison linéaire des vecteurs de base donc rien d'étonnant à ce que les vecteurs que tu as donné soient une combinaison linéaire des miens.

Mais quelle est la différence entre un vecteur propre et un vecteur combinaison linéaire de vecteurs propres ?
Un vecteur propre est tel que AV=kV et dans cette base, la matrice est diagonale.

[petittaupin]

ok , donc en enlevant le vecteur (X+1) , ma base pour ImA est valide ?

[Nightmare]

Merci pour ton aide.. précieuse

C'est amusant de voir que dire à un élève qu'il ne connait pas son cours est toujours vu comme une insulte... Alors que c'est dans les 3/4 des cas la raison principale de l'échec, hum.

[windows7]

C'est amusant de voir que dire à un élève qu'il ne connait pas son cours est toujours vu comme une insulte... Alors que c'est dans les 3/4 des cas la raison principale de l'échec, hum.

Il y a aussi des fois une profonde inaptitude

[Kimou]

C'est amusant de voir que dire à un élève qu'il ne connait pas son cours est toujours vu comme une insulte... Alors que c'est dans les 3/4 des cas la raison principale de l'échec, hum.

Je suis d'accord avec toi mais ce que je demandais c'est pas des réponses, mais une méthodologie "marche partout" pour ce genre d'exercice. Et d'ailleurs vous m'avez donner pas mal de réponses mais je ne comprends pas comment d'un point de vue méthodologique vous avez fait pour trouver...
Et ce qui concerne mon cours je suis quelqu'un qui ai repris les études un peu tard et je n'ai pas trouver la partie qui correspondait à ce genre d'exercice. En effet j'ai une partie qui s'intitule "matrice" et on résoud ce genre de question avec exclusivement des matrices, (par exemple d'un point de vue méthodologique le noyau d'une certaine matrice A correspond à résoudre AX=0) cependant ici j'ai un genre d'équation différentielle et tout bêtement je ne peux pas appliquer ce genre de raisonnement ici, ou du moins je n'ai pas bien vu le lien. C'est en cela que j'aimerais avoir votre aide. Mais merci de m'avoir aidé en tout cas.

[Ben314]

Si tu est plus rassuré avec les matrices alors suis le conseil de Doraki : commence par écrire sans réfléchir la matrice de ton endomorphisme dans une base connue (c'est ce qu'avais déjà fait Ericovitchi dans le Post #8)

Aprés, comme trés trés souvent en math., il vaut mieux éviter de croire à une "méthode passe partout" (pour moi, c'est ce qui fait la beauté des maths...) et, dans un exo comme celui ci, il est plus rapide et plus direct de raisonner comme te l'a ditt Ericovichi au début en regardant le calcul du noyau comme une équation différentielle.
Tu peut aussi voir les vecteurs propres d'un tel endomorphisme comme des solutions d'équa. diff...

[Kimou]

tu peux toujours prendre un vecteur quelconque ax^3+bx^2+cx+d et regarder son transformé. Tu en déduiras la matrice dans la base 1,X,X²,X^3


En trouvant les vecteurs propres (1,3,3,1) ; (0,0,0,1) ; (0,1,2,1) ; (0,0,1,1)
tu retrouves les polynômes qui font la base 1 ; X+1 ; X²+2X+1 ; X^3+3X²+3X+1

donc en fait 1 ; X+1 ; (X+1)² ; (X+1)^3

Je te laisse trouver la forme de la matrice dans cette base (c'est ta question d))
Il faut aussi que tu montres que tout vecteur est atteint

EDIT : c'était presque ça PetitTaupin, ton résultat ressemble
mais attention la base de Im A n'a que 3 vecteurs car le noyau a déjà une dimension 1 (générée par X+1)

D'accord merci pour cette explication cependant en regardant l'application d'un vecteur quelconque ax^3+bx+c je ne comprend pas comment en déduire la matrice que tu mentionnes.

[Ericovitchi]

Donc prenons un vecteur quelconque de coordonnées a,b,c,d, il s'écrit
Son image A(P) vaut

Donc le vecteur qui avait pour coordonnées (a,b,c,d) dans la base 1,X,X²,X^3
a une image qui a pour coordonnées
Ce qui peut s'écrire
Ce qui donne la matrice.