Algèbre polynôme de degré 3

par **pitert** » 04 Nov 2006, 16:00

Bonjour,

Voila mon sujet:
Le but de cet exercice est de déterminer les racines d'un polynome arbitraire de degré 3. On considère donc l'équation suivante x^3+bx²+cx+d=0 (a,b,c et d sont des réels).

1) Grâce à un changement de variable adéquat, montrer que la résolution de l'équation ci-dessus se ramène à la résolution d'une équation du type x^3+px+q=0(E).

2) Soit x solution de l'équation (E) et soient u et v vérifiant x=u+v et 3uv+p=0,
montrer que u^3+v^3+q=0, en déduire les valeurs possibles pour u^3 et v^3 puis les racines de (E) (attention: les valeurs de u et v découlant de la connaissance de u^3 etv^3 ne vérifient pas toutes 3uv+p=0).

J'ai déja cherché la question 2 en effectuant un changement de variable dans l'équation mais je ne trouve pas 0.

En attente de vos réponse.
Merci

par **alben** » 04 Nov 2006, 16:34

Tu as fait quel changement de variable et tu trouve quoi ?

par **pitert** » 04 Nov 2006, 16:46

j'ai posser u=x-v, v=x-u et q=-x^3-px=-(u+v)^3-p(u+v).
Jai remplacer dans mon équation et j'ai a la fin -3u²v-3uv²-pu-pv.

par **alben** » 04 Nov 2006, 17:02

met 3uv en facteur puis (u+v)

par **pitert** » 04 Nov 2006, 17:11

Merci pour ta réponse alben je trouve bien 0 à la fin maintenant.
Peut tu aussi m'aider pour la question 1 car sur celle là je bloque totalement.

par **alben** » 04 Nov 2006, 17:18

Pose x=t-b/3 et remplace

par **pitert** » 04 Nov 2006, 17:24

Qu'est ce que t??
Une nouvelle variable à introduire??

par **alben** » 04 Nov 2006, 17:32

la question 1 te demande de faire un changement de variable, tu es donc bien obligé d'introduire une nouvelle variable et tu obtiendras une equation du type

par **alben** » 04 Nov 2006, 17:42

Tu as sans doute oublié un coefficient "a" dans la question 1, le changement de variable doit alors être x=t - b/(3a)

par **pitert** » 04 Nov 2006, 18:10

Alors voilà j'ai ca:
t^3-(t²b/a)+(tb²/3a²)-(b^3/27a^3)+t²-(2tb/3a)+(b²/9a²)+ct-(cb/3a)
Peut tu me dire si tu as ca, et comment simplifier.
merci

par **alben** » 04 Nov 2006, 18:25

pitert a écrit:Alors voilà j'ai ca:
t^3-(t²b/a)+(tb²/3a²)-(b^3/27a^3)+t²-(2tb/3a)+(b²/9a²)+ct-(cb/3a)
Peut tu me dire si tu as ca, et comment simplifier.
merci

a[t^3-(t²b/a)+(tb²/3a²)-(b^3/27a^3)]+b[t²-(2tb/3a)+(b²/9a²)]+ct-(cb/3a)+d
tu as oublié quelques coefficients
en les introduisant, les termes en t² doivent disparaitre

par **pitert** » 04 Nov 2006, 18:40

Voila après corection j'ai ca:
at^3-(tb²/3a)+(2b^3/27a²)+ct-(cb/3a)+d
Est ce que c'est bon?

par **alben** » 04 Nov 2006, 19:08

Oui c'est bon
Il te suffit de regrouper les termes par degré de t et de tout diviser par "a" pour obtenir quelque chose du genre attendu

et d'identifier p et q :we:

Algèbre polynôme de degré 3

algèbre polynôme de degré 3

Qui est en ligne