Algebre, permutation

[bibup]

Bonjour,
Je suis en train de reviser mes partiels et j'essaye de faire le sujet de l'année derniere mais j'ai un petit soucis au niveau de l'algebre. Le sujet est :

Soit S5 le groupe des permutations de l'ensemble {1,2,3,4,5}
Soit A5 le sous-groupe alterné, A5 est le sous-grouep de S5 d'elements de signature égale à 1.
Soient a=(12345) appartenant à S5 et b=(12)(34) appartenant à S5.

1)Mq a et b appartiennent à A5.
2)Calculer ab et trouver les ordres de a, b et ab.

j'ai énormement de mal avec les permutations, je ne vois pas du tout comment il faut faire. Est-ce que vous pouvez essayer de m'expliquer!

[fahr451]

comment as tu défini la signature d 'une permutation? avec les inversions ?

ou comme morphisme de groupes?

3 façons de faire

1) on compte les inversions : inversion si is(j) la signature est 1 si le nombre d'inversions est pair -1 si impair

2) on décompose en produit de transpositions on "sait" qu 'une transposition est de signature -1 et que la signature est un morphisme

3) on décompose en produits de cycles ( c 'est rapide)

on "sait " un cycle de longueur p est de signature (-1)^(p-1)
visiblement tu ne le sais pas ça car c 'est ta question.

[bibup]

soit ;) appertenant à S et k, le nbre des cycles disjoints dans la décomposition de ;).
La signature de ;) est sign(;))=(-1)^(n-k)

[fahr451]

bon ben alors tu sais tout .

[bibup]

je ne dois donc pas comprendre la definition car je ne vois pas en quoi ca me donne la reponse.

[fahr451]

ben alors tu sais tout attention ta formule est correcte en incluant les 1 cycles!!

pour ton premier exemple c 'est un cycle !!
k = 1 et n = 5

pour ton deuxième exemple
produit de deux transpositions ( une trnasposition est un 2 cycle)
(12)(34)(5)
k = 3 n = 5

[bibup]

pour le deuxieme exemple, pourquoi c'est pas n=4?

[fahr451]

attention à ta formule
(-1)^(n-k)


soit n est le nbre d 'éléments qui ne sont pas points fixes et alors n= 4

soit n est le nombre d 'éléments donné au départ n = 5 une fois pour toute

mais ds la décomposition on doit ajouter les 1 cycles!

[bibup]

et donc comme a et b ont pour signature 1 alors ils appartiennent à A5.

[fahr451]

ben oui par définition

je te suggére de retenir qu 'un cycle de longueur p a pour signature 1 ssi p est impair ( cas p = 2 des transpositions de signature -1)

et ensuite de retenir que la signature d un produit est le produit des signatures

plutôt que ta formule ambigue

[bibup]

et pour la deuxieme question, la multiplication donne (135)(2)(4)?

[fahr451]

oui
que tout le monde écrit (135) sauf toi si tu veux appliquer ta formule

[bibup]

merci beaucoup, j'y vois plus clair maintenant dans les permutations.

[fahr451]

je t 'en prie