Algèbre non-linéaire?

[kubrick78]

Bonjour,
on nous parle toujours d'algèbre linéaire, d'applications linéaires, d'équations linéaires, etc. (Je précise que je suis dans une filière de physique, au cas où...)
Les équations non linéaires, font quelques brèves apparitions également.

Ma question: L'algèbre non linéaire existe-t-elle? existe-t-il une définition pour application non linéaire, ou bien qualifie-t-on de non linéaire toute application ne répondant pas aux critères de la linéarité?

merci d'avance.

[Zavonen]

En gros: Algèbre linéaire recouvre tout ce qui tourne autour de la structure d'espace vectoriel ou de sa généralisation (module sur un anneau). Tout cela débouche le plus souvent sur des équations ou des systèmes d'équations du premier degré.
La théorie des groupes 'pure' n'entre pas dans le cadre de l'algèbre linéaire proprement dite, mais elle est utilisée par l'algèbre linéaire (les scalaires sont des groupes en particulier et les vecteurs aussi).
La théorie des extensions de corps et des équations algébriques de degré > 1 n'entre pas dans le cadre de l'algèbre linéaire non plus mais elle utilise largement les résultats de cette théorie.
Il n'est pas facile de faire un distinguo linéaire vs/ non linéaire. La science (et la mathématique) est une.
Il n'existe pas de définition d'application non-linéaire. Les applications sont non,-linéaires 'a contrario' parce que la source ou le but ne sont pas des espaces vectoriels, ou dans le cas contraire si elles ne satisfont pas aux axiomes de définition. Il n'existe donc aucune théorie des applications non linéaires.
Quoi qu'il en soit la notion d'algèbre linéaire est une notion moderne (19°) puisque le concept d'e-v s'est dégagé tardivement. Curieusement on traitait des équations de degré trois et quatre à la Renaissance alors que les structures algébriques n'étaient pas connues et que la notion d'algèbre linéaire n'avait donc aucun sens.
l'A-L apparaît de ce point de vue comme une mise en facteur des connaissances de base de l'algèbre dans un but organisationnel et pédagogique. l'A-L ne comporte aucun résultat très profond. Le 'théorème fondamental de l'algèbre' a une démonstration qui utilise des techniques d'analyse.
Voilà, j'espère avoir éclairé un peu ta lanterne.

[kubrick78]

merci pour votre réponse.

vous dites qu'il n'y a aucune théorie des applications non linéaire!
Pourquoi? Est-ce-parce que c'est absurde, mathématiquement, de vouloir manipuler de telles applications, ou parce que personne n'a jamais eu besoin d'application non linéaire?

[Maks]

Bonjour !
Je me permets d'ajouter que les systèmes non-linéaires sont d'un grand interêt pour les applications physiques. Je ne suis pas sûr que l'on puisse dire que leur étude relève de l'algèbre cependant. Je pense notamment aux systèmes chaotiques, qui sont non-linéaires (les conséquences d'une variation dans les conditions initiales d'un systèmes chaotique ne dépendent pas linéairement de la variation, mais plutôt exponentiellement), et pour lesquels de nombreux outils ont été développés par les mathématiciens. Je pense qu'il faut avoir en tête que dans la nature, les systèmes non-linéaires sont omniprésents. Cependant, on est souvent amenés à linéariser les comportements (penser à l'étude du pendule simple) pour étudier mathématiquement les comportements. En effet, la non-linéarité est beaucoup plus ardue à étudier que la linéarité.

J'espère ne pas m'être trop égaré du sujet initial, mais je voulais ajouter le petit côté ... physique !

[kubrick78]

Oui Maks, merci de votre commentaire. Effectivement, j'avais entrevu que la nature est plus souvent non linéaire dans sa formulation mathématique, mais je pense que je ne suis pas encore arrivé assez loin dans mes études. Je n'ai jamais résolu de cas non linéaire il me semble sans avoir fait d'hypothèse simplificatrice pour retrouver une formulation linéaire, comme avec le pendule en effet.

Toutefois, étant donnée l'omniprésence de la non linéarité, je m'étonne du peu d'outils, ou du moins de l'absence de théorie global visant à la décrire. (Je n'ai rien trouvé sur le net, si ce n'est des méthodes de résolution numérique d'équations non linéaires pour obtenir une solution approchée par ordinateur).

[Maks]

De nombreux outils existent, mais necessitent un niveau assez elevé en mathématiques. Pour te dire, je suis en Maths Spé, et l'étude des comportements non-linéaires est assez limitée (je m'y suis cependant penché dans le cadre des TIPE). Si tu cherches un peu, tu pourras constater qu'il existe en fait de nombreux instituts d'étude de la dynamique non-linéaire.
Sinon, pour ta références aux méthodes de résolutions numériques : souvent, pour le physicien, seules les allures des solutions sont intéressantes, et dans de nombreux cas, la résolution numérique d'avère suffisante à la résolution d'un problème. Evidemment, une solution analytique serait le rêve, mais ces dernières ne sont souvent pas accessibles.

Si tu es interessé par le sujet, je t'invite à lire "La théorie du Chaos", de James Gleick, qui est un livre introductif à la dynamique non-linéaire. Je te rassure, le livre est très facile à lire (un niveau Lycée suffit amplement) et il retrace les grandes étapes scientifiques qui amenèrent à ce qu'on appelle aujourd'hui la "théorie du Chaos". C'est vraiment très bien écrit et on se laisse prendre par les grands acteurs de cette théorie.

N'hésite pas à poser d'autres questions.

[kubrick78]

Ok je viens de faire une petite recherche sur ce bouquin, je crois que je vais me le procurer, merci pour le conseil.

[Maks]

Mais de rien, ça fait toujours plaisir de partager des choses comme ça. :id:

N'hésite pas à repasser sur le forum si tu veux plus d'informations sur la théorie du Chaos, je me ferai une joie de te répondre :ptdr:

[SimonB]

Pour parler application des maths, on peut dire qu'en SI ou en physique (et même en économie), beaucoup de choses sont régies par des équations différentielles ou des équations aux dérivées partielles. Si on a y'(x,t)=f(y(x),t) une brave équa-diff, il est très rare (même dans la réalité) que f soit une fonction linéaire ou affine. On dit que l'équa diff est non linéaire, et on cherche à l'approximer par une fonction linéaire assez souvent (pour faciliter les résolutions).
M'enfin c'est un aspect très réducteur du problème général, bien sûr.