Algebre: Module de torsion

[Patrick.p]

Bonjour voila, j'ai 2 position contradictoire dans mon td et dans mon cours:

En td on m'as dis qu'un module était de torsion si il existe un element de torsion dans le module.
Dans le cours j'ai : un module est de torsion si tous ses elements sont de torsion.

Je choisit quoi? :p

Merci d'avance.

[abcd22]

Bonsoir,
C'est le deuxième choix : un module est de torsion si tous ses éléments sont de torsion.

[Patrick.p]

merci,
j'aimerais toute fois comprendre si jamais tu la 5 minutes:

En td on nous demandais de montré que Q/Z (les rationnel entre 0 et 1)
est un Z-modules de torsion.

en gros j'ai dis que en posant q + Z (element de Q/Z)
q + Z = a/b + Z , avec a et b dans Z b different de 0 et pgcd(a,b)=1
il suffit de prendre b element de Z et on constate que :
b ( q + Z ) = a + Z = 0 +Z

De ce fait on a bien que tout element de Q/Z est un element de torsion
mais si z est dans l'annulateur de Q/Z
alors tous les b (dans Z) divisise z.
donc l'annulateur de Q/Z est nulle.

Or un module est de torsion ssi l'annulateur de ce module est non nul.

d'ou il y a une inchoérence quelque part.
inchoérence a laquel le prof a répondu en disant que 1 element suffisait ce qui est visiblement faut...

Merci d'avance.

[abcd22]

Il n'y avait pas l'hypothèse M de type fini pour l'équivalence ?
Si M est un A-module de torsion engendré par , les annulateurs des sont non nuls et le produit des annulateurs annule le module, mais il faut aussi supposer A intègre pour dire que le produit des idéaux est non nul...

[jose_latino]

Bonjour voila, j'ai 2 position contradictoire dans mon td et dans mon cours:

S'il existe un element de torsion dans le module.

C'est définition est de module AVEC torsion. :id:

Dans le cours j'ai : un module est de torsion si tous ses elements sont de torsion.

Je choisit quoi? :p

Merci d'avance.

C'est correcte.

[jose_latino]

merci,
j'aimerais toute fois comprendre si jamais tu la 5 minutes:

En td on nous demandais de montré que Q/Z (les rationnel entre 0 et 1)
est un Z-modules de torsion.

en gros j'ai dis que en posant q + Z (element de Q/Z)
q + Z = a/b + Z , avec a et b dans Z b different de 0 et pgcd(a,b)=1
il suffit de prendre b element de Z et on constate que :
b ( q + Z ) = a + Z = 0 +Z

De ce fait on a bien que tout element de Q/Z est un element de torsion
mais si z est dans l'annulateur de Q/Z
alors tous les b (dans Z) divisise z.
donc l'annulateur de Q/Z est nulle.

Or un module est de torsion ssi l'annulateur de ce module est non nul.

d'ou il y a une inchoérence quelque part.
inchoérence a laquel le prof a répondu en disant que 1 element suffisait ce qui est visiblement faut...

Merci d'avance.

C'est pas nécessaire de réduire les fractions. Simplement: soit , alors . Voilà, tu as que chaque élément de est de torsion. Bon courage!

REMARQUE: J'utilise ici que est le module quotient.